Enunciado

A viga esbelta de 3   m possui uma massa de 50   k g e é liberada a partir do repouso na posição horizontal em θ = 0 . Se o coeficiente de atrito estático entre o suporte fixo junto a O e a viga é de 0,30 , determine o ângulo θ no qual o deslizamento ocorre pela primeira vez em O . O resultado depende da massa da viga.

Passo 1

Vamos começar calculando o momento de inércia da viga em relação ao ponto O :

I O = 1 12 m l 2 + m d 2

Onde d é a distância entre o centro de massa e o ponto O :

I O = 1 12 50 3 2 + 50 0,5 2 = 50   k g ∙ m 2

E agora vamos encontrar uma expressão para a aceleração angular:

∑ M O = I O α

A única força que produz momento em relação ao ponto O é o peso da viga. A componente perpendicular do peso varia conforme o ângulo θ aumenta:

P ⊥ = m g cos ⁡ θ

∑ M O = 0,5 m g cos ⁡ θ = 0,5 50 9,81 cos ⁡ θ = 245,25 cos ⁡ θ

Então a aceleração angular é:

α = ∑ M O I O = 245,25 50 = 4,905 cos ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos usar a segunda lei de Newton para determinar o que acontece quando barra está prestes a deslizar.

Na direção tangencial (que é perpendicular à barra), temos a seguinte expressão:

∑ F t = m a t

E aceleração tangencial do centro de massa é:

a t = r c m α = 0,5 4,905 cos ⁡ θ

E as forças que agem nessa direção são a normal N no ponto O e uma componente da força peso:

∑ F t = m g cos ⁡ θ - N = ( 50 ) 0,5 4,905 cos ⁡ θ

N = 367,88 cos ⁡ θ

Na direção normal, que é paralela à barra, temos o seguinte:

∑ F n = m r c m ω 2

E as forças que agem nessa direção são a força de atrito F e a outra componente do peso:

∑ F n = F - 50 9,81 sen ⁡ θ = 50 0,5 ω 2

F = 25 ω 2 + 490,5 sen ⁡ θ

E quando a barra está prestes a deslizar, a força de atrito está no seu valor máximo, e portanto:

F = μ k N = 0,30 N

Substituindo isso na equação que encontramos, ficamos com o seguinte sistema de duas equações:

0,30 N = 25 ω 2 + 490,5 sen ⁡ θ N = 367,88 cos ⁡ θ

Dividindo as duas equações:

0,30 = 25 ω 2 + 490,5 sen ⁡ θ 367,88 cos ⁡ θ

Então precisamos encontrar ω 2 para poder resolver o problema.

Passo 3

Queremos encontrar ω para um certo valor de θ , sabendo que ω 0 = 0 e θ 0 = 0 . Sabemos também a aceleração angular α em função de θ .

Então vamos nos lembrar da seguinte relação:

α = d ω d t = d ω d θ d θ d t = ω d ω d θ

E então:

α   d θ = ω   d ω

Agora vamos integrar nos dois lados, e substituir a nossa função α θ :

∫ 0 θ α   d θ = ∫ 0 ω ω   d ω

∫ 0 θ 4,905 cos ⁡ θ   d θ = ∫ 0 ω ω   d ω

4,905 sen ⁡ θ = ω 2 2

ω 2 = 9,81 sen ⁡ θ

E então vamos substiuir isso na última expressão que encontramos:

0,30 = 25 ω 2 + 490,5 sen ⁡ θ 367,88 cos ⁡ θ

0,30 = 2,00 tan ⁡ θ

θ = arctan ⁡ 0,30 2,00 = 8,53 °

Resposta

O deslizamento ocorre pela primeira vez em θ = 8,53 ° .

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