Enunciado

Para a viga mostrada e sabendo que P = 40 kN, determine (a) a reação no ponto E, (b) a deflexão no ponto C. Utilize E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar a equação que governa a linha elástica, dada por:

E I . d 2 y d x 2 = M

Então, nós precisamos da equação para o momento da viga, vamos determinar essa equação com o auxílio das funções de singularidade vistas nesse capítulo, depois disso conseguimos integrar a expressão acima para obter a equação para a inclinação. Integrando novamente conseguimos obter a equação para a deflexão, aí só precisamos calcular o valor do momento de inércia para substituir os valores conhecidos nas equações que encontramos. Então bora lá!

Passo 2

Beleza! Vamos começar desenhando o DCL para o sistema, onde teremos:

Beleza! Vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto A para descobrir uma expressão para o momento no engaste A, então teremos:

+ ↻ ∑ M A = 0

- M A + 40 0,5 + 40 1 + 40 1,5 - E y ( 2 ) → M A = 120 - 2 E y

Agora vamos aplicar o somatório de forças na direção y para encontrar uma expressão para a reação em A, então teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

A y - 40 - 40 - 40 + E y = 0 → A y = 12 0 - E y

Agora, vamos aproveitar e pegar o momento de inércia para a viga W200 X 46,1 lá no apêndice C do livro, de onde teremos:

I = 45,8 . 10 6   m m 4 = 45,8 . 10 - 6   m 4

Passo 3

Agora podemos escrever a equação de singularidade para a força de cisalhamento na viga, que será dada por:

V = A y - 40 < x - 0,5 > 0 - 40 < x - 1 > 0 - 40 < x - 1,5 > 0

Agora, nós sabemos também que a derivada da equação momento corresponde ao cisalhamento, ou seja:

d M d x = V

Então, substituindo a expressão encontrada para o cisalhamento nessa equação, temos:

d M d x = A y - 40 < x - 0,5 > 0 - 40 < x - 1 > 0 - 40 < x - 1,5 > 0

Integrando essa expressão, teremos:

M = A y x - 40 < x - 0,5 > 1 - 40 < x - 1 > 1 - 40 < x - 1,5 > 1 + C

Nesse caso, a constante C representa os momentos localizados aplicados no sistema, no nosso caso temos o momento M A , então teremos:

C = - M A

Então nossa equação para o momento será:

M = A y x - 40 < x - 0,5 > 1 - 40 < x - 1 > 1 - 40 < x - 1,5 > 1 - M A

Passo 4

Agora nós podemos utilizar a equação que governa o regime elástico descrita lá no passo 1 e substituir a equação obtida para o momento, então teremos:

E I . d 2 y d x 2 = A y x - 40 < x - 0,5 > 1 - 40 < x - 1 > 1 - 40 < x - 1,5 > 1 - M A

Agora vamos integrar essa expressão, chegando em:

E I . d y d x = A y x 2 2 - 2 0 < x - 0,5 > 2 - 2 0 < x - 1 > 2 - 20 < x - 1,5 > 2 - M A x + C 1

Agora, para descobrir o valor de C 1 vamos utilizar a condição de contorno no engaste, onde sabemos que não haverá inclinação, ou seja:

x = 0 → d y d x = 0

Substituindo essa relação na equação para a inclinação, chegamos em:

E I . 0 = A y 0 2 2 - 20 < 0 - 0,5 > 2 - 20 < 0 - 1 > 2 - 20 < 0 - 1,5 > 2 - M A 0 + C 1

C 1 = 0

Agora nós vamos integrar a equação da inclinação para obter a equação da deflexão, então teremos:

E I . y = A y x 3 6 - 20 3 < x - 0,5 > 3 - 20 3 < x - 1 > 3 - 20 3 < x - 1,5 > 3 - M A x 2 2 + C 2

Passo 5

Agora para encontrar o valor da constante C 2 , vamos novamente utilizar uma condição de contorno no engaste, só que agora com relação a deflexão, pois sabemos que não temos deflexão nesse ponto, ou seja:

x = 0 → y = 0

Substituindo essa condição na equação para a deflexão encontrada no passo 4, teremos:

E I . 0 = A y ( 0 ) 3 6 - 20 3 < 0 - 0,5 > 3 - 20 3 < 0 - 1 > 3 - 20 3 < 0 - 1,5 > 3 - M A ( 0 ) 2 2 + C 2

C 2 = 0

Então, a nossa equação para a linha elástica será:

E I . y = A y x 3 6 - 20 3 < x - 0,5 > 3 - 20 3 < x - 1 > 3 - 20 3 < x - 1,5 > 3 - M A x 2 2 + C 2

y = 1 E I A y x 3 6 - 20 3 < x - 0,5 > 3 - 20 3 < x - 1 > 3 - 20 3 < x - 1,5 > 3 - M A x 2 2

E a equação para a inclinação será:

E I . d y d x = A y x 2 2 - 20 < x - 0,5 > 2 - 20 < x - 1 > 2 - 20 < x - 1,5 > 2 - M A x + C 1

d y d x = 1 E I A y x 2 2 - 20 < x - 0,5 > 2 - 20 < x - 1 > 2 - 20 < x - 1,5 > 2 - M A x

Passo 6

Agora para a letra (a), para descobrir a reação no apoio E, vamos utilizar a equação para a deflexão obtida no passo 5 e calcular em x = 2   m , pois sabemos que nesse ponto não temos deflexão, ou seja:

x = 2   m → y = 0

Substituindo esses valores na equação para a deflexão e também as relações para A y e M A encontradas no passo 2, teremos:

0 = 1 E I 120 - E y ( 2 ) 3 6 - 20 3 < 2 - 0,5 > 3 - 20 3 < 2 - 1 > 3 - 20 3 < 2 - 1,5 > 3 - ( 120 - 2 E y ) ( 2 ) 2 2

0 = 160 - 1,333 E y - 22,5 - 6,666 - 0,8333 - 240 + 4 E y

E y = 41,24   k N

Quase lá em, falta só a (b) agora!

Passo 7

Agora, para a letra (b), vamos usar a equação da linha elástica que encontramos lá no passo 5 e calcular para o ponto C em x = 1   m , além de substituir as expressões que já conhecemos, então teremos:

y = 1 200.10 9 45,8.10 - 6 ( 1000 ) ( 120 - 41,24 ) ( 1 ) 3 6 - 20 3 < 1 - 0,5 > 3 - 20 3 < 1 - 1 > 3 - 20 3 < 1 - 1,5 > 3 - 120 - 2 41,24 ( 1 ) 2 2

y = 1 9,16 . 10 6 ( 1000 ) 13,126 - 0,833 - 0 - 0 - 18,76

y = - 706.10 - 6   m

Observe que multiplicamos os termos dentro dos parênteses por 1000, isso para converter a unidade kN para N. Prooonto! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : E y = 41,24   k N

b : y = - 706.10 - 6   m

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Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A reação em A
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:O momento fletor em D
Para a viga com o carregamento indicado, determinar a intensidade e a localização da maior deflexão descendente. Viga e o carregamento de P r o b . 8.8 0 .
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A reação em A
Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:A Deflexão no ponto B. usar E = 200 G P a