Enunciado

Para a viga uniforme em balanço e o carregamento mostrados na figura, determine (a) a inclinação e (b) a deflexão no ponto B. Use E = 200 GPa.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá! (Obs: observe que os valores entre as extremidades do carregamento estão muito distantes, então vamos considerar o maior carregamento como 175,1 N/m).

Passo 2

Tá legal! Vamos começar esse exercício desenhando o DCL para a viga como um todo, que será dado por:

Agora, aplicando o somatório de momentos em relação ao ponto A, teremos:

+ ↺ ∑ M A = 0

- 70 0,762 0,762 2 - 1 2 175,1 - 70 0,762 1 3 0,762 + M A = 0

M A = 30,5   N . m

Agora, aplicando o somatório de forças na direção y, teremos:

+ ↑ ∑ F y = 0

A y - 70 0,762 - 1 2 175,1 - 70 0,762 = 0 → A y = 93,4   N

Beleza! Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento x a partir do ponto A, onde teremos:

Agora nós vamos aplicar o somatório de momento em relação ao ponto C para encontrar uma expressão para o momento resultante na viga nessa seção. Então, sabendo que a equação da reta de decaimento do momento é dada por:

y = 175,1 - 137,926 x

Teremos:

+ ↺ ∑ M C = 0

M A - 175,1 - 137,926 x x x 2 - 1 2 137,926 x x 1 3 x + M = 0

M = 87,55 x 2 - 68,96 x 3 + 22,99 x 3 - 30,5

Passo 3

Então, para a letra (a), temos que a inclinação na extremidade livre, será a inclinação entre os pontos A e B, que nada mais é do que a área abaixo da curva M / E I , ou seja:

θ B - θ A = A A B = ∫ x A x B M E I d x

Devido a função momento encontrada ser complexa, vamos encontrar a área embaixo da curva através da integral do momento, então teremos:

θ B - θ A = 1 E I ∫ 0 0,762 87,55 x 2 - 68,96 x 3 + 22,99 x 3 - 30,5 d x

Como temos um engaste no ponto A, não teremos inclinação nesse ponto, e resolvendo a integral, teremos:

θ B - θ A = 1 E I 87,55 x 3 3 - 68,96 x 4 4 + 22,99 x 4 4 - 30,5 x 0 0,762

Antes de substituir os intervalos de integração, vamos calcular o momento de inércia para a seção. Como temos uma seção circular, o momento de inércia será:

I = π r 4 4 = π 0,0457 2 4 4 → I = 214,11.10 - 9   m 4

Agora, sim, substituindo os intervalos de integração e os valores conhecidos na equação acima, teremos:

θ B - 0 = 1 200.10 9 214,11.10 - 9 87,55 0,762 3 3 - 68,96 0,762 4 4 + 22,99 0,762 4 4 - 30,5 0,762

θ B = 1 42821,78 12,912 - 5,81 + 1,938 - 23,241 → θ B = - 331,6.10 - 6   r a d

Passo 4

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t B / A = A B A x -

Em que A B A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto B. Então, utilizando novamente o conceito de integral, sabendo que o centroide é dado por:

x - = 1 A B A ∫ x A x B M E I x d x

A equação acima se torna:

t B / A = ∫ x A x B M E I x d x

Então, substituindo a expressão conhecida para M, teremos:

t B / A = 1 E I ∫ 0 0,762 87,55 x 2 - 68,96 x 3 + 22,99 x 3 - 30,5 x d x

t B / A = 1 E I ∫ 0 0,762 87,55 x 3 - 68,96 x 4 + 22,99 x 4 - 30,5 x d x

Resolvendo a integral, teremos:

t B / A = 1 E I 87,55 x 4 4 - 68,96 x 5 5 + 22,99 x 5 5 - 30,5 x 2 2 0 0,762

Substituindo os intervalos de integração e os valores conhecidos de E e I, teremos:

t B / A = 1 200.10 9 214,11.10 - 9 87,55 0,762 4 4 - 68,96 0,762 5 5 + 22,99 0,762 5 5 - 30,5 0,762 2 2 0 0,762

t B / A = 1 42821,78 7,379 - 3,54 + 1,181 - 8,85 → t B / A = - 89,55.10 - 6   m

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a : θ B = - 331,6.10 - 6   r a d

b : t B / A = - 89,55.10 - 6   m

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