1.12 Foi observado na Seção 1.2.1 que os estatísticos que seguem a escola deFinetti não aceitam o Axioma da Aditividade Contável, aderindo ao Axioma da Aditividade Finita.
(a) Mostre que o axioma da aditividade contável implica aditividade finita.
(b) Embora, por si só, o Axioma da Aditividade Finita não implique a Aditividade Contável, suponha os seguintes suplementemos. Seja A1 ⊃ A2 ⊃ ··· ⊃ An ⊃··· uma sequência infinita de conjuntos aninhados cujo limite é o conjunto vazio, que denotamos por An ↓ ∅. Considere o seguinte:
Axioma da Continuidade: Se An ↓ ∅, então P(An) → 0.
Prove que o Axioma da Continuidade e o Axioma da Aditividade Finita implicam em Aditividade Contável.
Passo 1
Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.
Na letra (a), primeiramente, vamos ver que:
Deste modo, sabemos que a parte a seguir é disjunta:
E que é finita e aditiva, pois:
Passo 2
Na letra (b), precisamos definir que .
Perceba que Bk+1 ⊂ Bk e Bk → φ com k → , caso contrário, a soma das probabilidades seria infinita. Então:
O que leva a:
E, deste modo:
Comprovando assim que o Axioma da Continuidade e o Axioma da Aditividade Finita implicam em Aditividade Contável.
Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!
Resposta
Demonstração acima.