1.12 Foi observado na Seção 1.2.1 que os estatísticos que seguem a escola deFinetti não aceitam o Axioma da Aditividade Contável, aderindo ao Axioma da Aditividade Finita.

(a) Mostre que o axioma da aditividade contável implica aditividade finita.

(b) Embora, por si só, o Axioma da Aditividade Finita não implique a Aditividade Contável, suponha os seguintes suplementemos. Seja A1 ⊃ A2 ⊃ ··· ⊃ An ⊃··· uma sequência infinita de conjuntos aninhados cujo limite é o conjunto vazio, que denotamos por An ↓ ∅. Considere o seguinte:

Axioma da Continuidade: Se An ↓ ∅, então P(An) → 0.

Prove que o Axioma da Continuidade e o Axioma da Aditividade Finita implicam em Aditividade Contável.

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.

Na letra (a), primeiramente, vamos ver que:

P ⋃ i = 1 ∞ A i = P ⋃ i = 1 n A i ∪ ⋃ i = n + 1 ∞ A i

Deste modo, sabemos que a parte a seguir é disjunta:

P ⋃ i = 1 ∞ A i = P ⋃ i = 1 n A i + P ⋃ i = n + 1 ∞ A i

E que é finita e aditiva, pois:

P ⋃ i = 1 ∞ A i = ∑ i = 1 n P A i + P ⋃ i = n + 1 ∞ A i

Passo 2

Na letra (b), precisamos definir que B k = ⋃ i = k ∞ A i .

Perceba que Bk+1 ⊂ Bk e Bk → φ com k → , caso contrário, a soma das probabilidades seria infinita. Então:

P ⋃ i = 1 ∞ A i = lim n → ∞ ⁡ P ⋃ i = 1 ∞ A i

O que leva a:

P ⋃ i = 1 ∞ A i = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n P A i + P B n + 1

E, deste modo:

P ⋃ i = 1 ∞ A i = ∑ i = 1 ∞ P A i

Comprovando assim que o Axioma da Continuidade e o Axioma da Aditividade Finita implicam em Aditividade Contável.

Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!

Resposta

Demonstração acima.