Enunciado

11-80. A resistencia do papel usado na fahricação de caixas de pape-

lāo, v. está relacionada a porcentagem da concentração de madeira de

lei na polpa original, r. Sob condições controladas. uma planta piloto

fabrica Ih amostras.cada uma sendo proveniente de uma balelada di-

ferente de polpa. Mede-se a resistência à tração. Os dados sào mostrados aqui

a) Ajuste um moxlelo de regressão linear simples aos dados.

b) Teste a significância da regressão usando = 0.05.

c)Construa um intervalo de confiança de 90% para a inclinação .

d)Construa um intervalo de contiança de 9052 para a interseção Bu.

e) Construa um intervalo de confianca de 9556 para a resiténcia mé-

dia em .x = 2.5.

f) Analise os residuos e comente a adequação de modelo.

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Denotemos a variável da porcentagem de concentração de madeira de lei com a letra x, e a variável aleatória de resistência à tração com a letra y.

Letra a:

Primeiro, vamos calcular as quantidades importantes (nota n = 16 ) :

x - = 2.325 y - = 129.7063 S x x = ∑ k = 1 n   x k - x - 2 = 7.17 S x y = ∑ k = 1 n   x k - x - y k - y - = 112.1475

Agora estamos prontos para determinar os coeficientes do modelo:

β ^ 1 = S x y S x x = 112.1475 7.17 = 15.64 β ^ 0 = y - - β ^ 1 x - = 93.34

Portanto, o melhor ajuste linear para os dados é:

y = 93.34 + 15.64 x

Passo 2

Letra b:

Precisamos testar a significância da regressão. Neste exercício, vamos optar pela abordagem de análise de variância para este problema.

Primeiro, vamos avaliar a regressão e a soma dos quadrados dos erros:

S S R = ∑ k = 1 n   y ^ k - y - 2 = 1754.123 S S E = ∑ k = 1 n   y ^ k - y k 2 = 1907.826

Para calcular o valor da estatística F:

F = S S R S S E n - 2 = 1754.123 1907.826 14 = 12.87

Rejeitamos H 0  se   F > F α , 1 , n - 2   então primeiro determine:

F 0.5,1 , 14 = 4.60011

E, em seguida, vamos rejeitar H 0  de  β 1 = 0  com  α = 0.05 .

Portanto, o modelo é significativo.

Passo 3

Letra c:

O intervalo de confiança da inclinação é dado pela seguinte fórmula:

β ^ 1 - t α 2 , n - 2 × se ⁡ β ^ 1 ≤ β 1 ≤ β ^ 1 + t α 2 , n - 2 × se ⁡ β ^ 1

Portanto, calculamos, com o dado α = 0.1   nesta parte do exercício:

s e ⁡ β ^ 1 = 4.36 t α 2 , n - 2 = t 0.05,14 = 1.76131

E obtemos:

15.64 - 1.76131 × 4.36 ≤ β 1 ≤ 15.64 + 1.76131 × 4.36 7.96 ≤ β 1 ≤ 23.319

Passo 4

Letra d:

Da mesma forma que na parte anterior, o intervalo de confiança da interceptação é dado pela seguinte fórmula:

β ^ 0 - t α 2 , n - 2 × se ⁡ β ^ 0 ≤ β 1 ≤ β ^ 1 + t α 2 , n - 2 × se ⁡ β ^ 1

Portanto, calculamos, com o dado α = 0.1   nesta parte do exercício:

s e ⁡ β ^ 0 = 10.55 t α 2 , n - 2 = t 0.05,14 = 1.76131

E obtemos:

74.758 ≤ β 0 ≤ 111.92

Passo 5

Letra e:

Vamos lembrar que: o significado do modelo de regressão é a seguinte relação:

μ x = E Y x = β 0 + β 1 x

Podemos estimar os parâmetros para obter a estimativa pontual desta expectativa condicional (resposta média):

μ ^ x = β ^ 0 + β ^ 1 x

Agora lembre-se da fórmula para o intervalo de confiança de 100 1 - α % na resposta média em   x = x 0 :

μ ^ x 0 - t α 2 , n - 2 σ ^ 2 1 n + x 0 - x - 2 S x x ≤ μ x 0 ≤ μ ^ x 0 + t α 2 , n - 2 σ ^ 2 1 n + x 0 - x - 2 S x x

Agora calcule as quantidades necessárias a partir dos dados (ou use já calculado) para encontrar:

μ ^ 2.5 = 132.4435 125.9738 ≤ μ 2.5 ≤ 138.9132

Passo 6

Letra f:

Trace os resíduos do modelo contra os valores ajustados para a resposta e examine. Notamos que os resíduos tendem a ser menores na cauda do que no meio. Além disso, o modelo de fato parece ser adequado, mas isso não pode ser ignorado.

Resposta

  1. y = 93.34 + 15.64 x
  2. F = 12.87 ,  rejeita  H 0 ,  o modelo significativo
  3. 7.96 ≤ β 1 ≤ 23.319
  4. 74.758 ≤ β 0 ≤ 111.92
  5. 125.9738 ≤ μ 2.5 ≤ 138.9132
  6. Ver resolução
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Sejam X : volume de precipitação pluvial Y : produção de trigo por alqueire(b) Caso esse modelo não seja adequado, esboce um gráfico do tipo de relação que você esperaria existir entre X e Y .
Prove que C o v (Y - ,β ^ )=0 .
Para o Exemplo 16.10 , obtenha a tabela ANOVA e os intervalos de confiança para α * e β , ajustando o modelo ( 16.71 ) .
Mostre que E S e 2 = σ e 2 .
Usando os resultados do Problema 1 , construa a tabela ANOVA para o modelo z ^=α ^+β ^ x ,Encontrado naquele problema.C) Qual o valor de R 2 ? Interprete esse número.