1.19 Se uma função multivariada tiver derivadas parciais contínuas, a ordem em que as derivadas são calculadas não importa. Assim, por exemplo, a função f(x, y) de duas variáveis tem terceiras parciais iguais

∂ 3 ∂ x 2 ∂ y f ( x , y ) = ∂ 3 ∂ y ∂ x 2 f ( x , y )

(a) Quantas quartas derivadas parciais tem uma função de três variáveis?

(b) Prove que uma função de n variáveis tem C r n + r - 1 r-ésimas derivadas parciais.

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.

Na letra (a), uma função de três variáveis terá uma combinação de 6 em 4 derivadas parciais, ou seja:

C 4 6 = 6 ! 4 ! 6 - 4 ! = 15

Passo 2

Na letra (b), pense nas n variáveis como n compartimentos.

Diferenciar em relação a uma das variáveis equivale a colocar uma bola na lixeira.

Assim, existem r bolas não rotuladas a serem colocadas em n caixas não rotuladas, e há C r n + r - 1 maneiras de fazer isso.

Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!

Resposta

a) 15

b) Demonstração no passo 2.