1.24 Dois jogadores, A e B, alternadamente e independentemente lançam uma moeda e o primeiro jogador a obter uma cara ganha. Suponha que o jogador A lance primeiro.
(a) Se a moeda for honesta, qual é a probabilidade de A ganhar?
(b) Suponha que P(cara) = p, não necessariamente 1/2. Qual é a probabilidade de A ganhar?
(c) Mostre que para todo p, 0 1/2. (Dica: Tente escrever P(A ganha) em termos dos eventos E1, E2,..., onde Ei = {cara aparece primeiro no i-ésimo lançamento}.)
Passo 1
Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.
Na letra (a), a probabilidade de A ganhar se a moeda for honesta é:
Passo 2
Na letra (b), a probabilidade de A ganhar caso P(cara) = p, não necessariamente 1/2, é:
Passo 3
Na letra (c), para todo p, 0 1/2. Sendo assim, a demonstração é:
Assim, a probabilidade está aumentando em p, e o mínimo é zero.
Usando a regra de L'Hopital, encontramos:
Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!
Resposta
a) 2/3
b)
c) Demonstração no passo 3.