1.24 Dois jogadores, A e B, alternadamente e independentemente lançam uma moeda e o primeiro jogador a obter uma cara ganha. Suponha que o jogador A lance primeiro.

(a) Se a moeda for honesta, qual é a probabilidade de A ganhar?

(b) Suponha que P(cara) = p, não necessariamente 1/2. Qual é a probabilidade de A ganhar?

(c) Mostre que para todo p, 0 1/2. (Dica: Tente escrever P(A ganha) em termos dos eventos E1, E2,..., onde Ei = {cara aparece primeiro no i-ésimo lançamento}.)

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.

Na letra (a), a probabilidade de A ganhar se a moeda for honesta é:

P ( A   g a n h a r ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A   g a n h a r   n o   i - é s i m o   l a n ç a m e n t o )  

P A   g a n h a r = 1 2 + 1 2 2 1 2 + 1 2 4 1 2 + …  

P A   g a n h a r = ∑ i = 1 ∞ 1 2 2 i + 1   = 2 3

Passo 2

Na letra (b), a probabilidade de A ganhar caso P(cara) = p, não necessariamente 1/2, é:

P A   g a n h a r = p   +   1   -   p 2   p   +   1   -   p 4   p   +   ·   ·   ·  

P A   g a n h a r = ∑ i = 1 ∞ p 1   -   p 2 i = p 1 - ( 1 - p ) ²

Passo 3

Na letra (c), para todo p, 0 1/2. Sendo assim, a demonstração é:

d d p p 1 - ( 1 - p ) ² = p ² ( 1 - ( 1 - p ) ² ) ² > 0

Assim, a probabilidade está aumentando em p, e o mínimo é zero.

Usando a regra de L'Hopital, encontramos:

lim p → 0 ⁡ p 1 - ( 1 - p ) ² = 1 2

Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!

Resposta

a) 2/3

b) p 1 - ( 1 - p ) ²

c) Demonstração no passo 3.