1.27 Verifique as seguintes identidades para n ≥ 2.

(a) ∑ k = 0 n ( - 1 ) k C k n = 0

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.

Para n ímpar a prova é direta. Há um número par de termos na soma (0, 1, · · · , n), e C k n e C n - k n , que são iguais, têm sinais opostos. Assim, todos os pares se cancelam e a soma é zero.

Passo 2

Se n for par, use a seguinte identidade, que é a base do triângulo de Pascal: Para k > 0, C k n = C k n - 1 + C k - 1 n - 1 . Então, para n par:

∑ k = 0 n ( - 1 ) k C k n = C 0 n + ∑ k = 1 n - 1 ( - 1 ) k C k n + C n n

∑ k = 0 n ( - 1 ) k C k n = C 0 n + C n n + ∑ k = 1 n - 1 ( - 1 ) k [ C k n - 1 + C k - 1 n - 1 ]

∑ k = 0 n ( - 1 ) k C k n = C 0 n + C n n - C 0 n - 1 - C n - 1 n - 1 = 0

Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!

Resposta

Demonstração acima.