1.29
(a) Para a situação do Exemplo 1.2.20, enumere as amostras ordenadas que compõem as amostras não ordenadas {4, 4, 12, 12} e {2, 9, 9, 12}.
(b) Enumere as amostras ordenadas que compõem as amostras não ordenadas {4, 4, 12, 12} e {2, 9, 9, 12}.
(c) Suponha que tivéssemos uma coleção de seis números, {1, 2, 7, 8, 14, 20}. Qual é a probabilidade de retirar, com reposição, a amostra não ordenada {2, 7, 7, 8, 14, 14}?
(d) Verifique se uma amostra não ordenada de tamanho k, de m números diferentes repetidos k1, k2,...,km vezes, tem componentes ordenados, onde k1 + k2 + ··· + km = k.
(e) Use o resultado da parte anterior para estabelecer a identidade
Passo 1
Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.
(a) Desordenado: {4,4,12,12}
Ordenado: (4,4,12,12), (4,12,12,4), (4,12,4,12), (12,4,12,4), (12,4,4,12), (12,12,4,4)
Desordenado: {2,9,9,12}
Ordenado: (2,9,9,12), (2,9,12,9), (2,12,9,9), (9,2,9,12), (9,2,12,9), (9,9,2,12), (9,9,12,2), (9,12,2,9), (9,12,9,2), (12,2,9,9), (12,9,2,9), (12,9,9,2)
Passo 2
(b) Desordenado: {4,4,12,12}
Ordenado: (4,4,12,12), (4,12,12,4), (4,12,4,12), (12,4,12,4), (12,4,4,12), (12,12,4,4)
Desordenado: {2,9,9,12}
Ordenado: (2,9,9,12), (2,9,12,9), (2,12,9,9), (9,2,9,12), (9,2,12,9), (9,9,2,12), (9,9,12,2), (9,12,2,9), (9,12,9,2), (12,2,9,9), (12,9,2,9), (12,9,9,2)
Passo 3
(c) Existem 66 amostras encomendadas com reposição de {1, 2, 7, 8, 14, 20}. O número de amostras ordenadas que resultariam em {2, 7, 7, 8, 14, 14} é:
Assim, a probabilidade é:
Passo 4
(d) Se os k objetos fossem distinguíveis, então haveria k! possíveis arranjos ordenados.
Como temos k1, ..., km grupos diferentes de objetos indistinguíveis, uma vez que as posições dos objetos são fixas no arranjo ordenado, as permutações dentro de objetos do mesmo grupo não alteram o arranjo ordenado.
Existem k1!k2! ... km! de tais permutações para cada componente ordenado.
Assim, haveria componentes ordenados diferentes.
Passo 5
(e) Pense nos m números distintos como m caixas.
Selecionar uma amostra de tamanho k, com reposição, é o mesmo que colocar k bolas nas m caixas. Isto é , que é o número de amostras de bootstrap distintas.
Observe que, para criar todas as amostras de bootstrap, não precisamos saber qual era a amostra original. Só precisamos saber o tamanho da amostra e os valores distintos.
Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!
Resposta
a) (4,4,12,12), (4,12,12,4), (4,12,4,12), (12,4,12,4), (12,4,4,12), (12,12,4,4)
(2,9,9,12), (2,9,12,9), (2,12,9,9), (9,2,9,12), (9,2,12,9), (9,9,2,12), (9,9,12,2), (9,12,2,9), (9,12,9,2), (12,2,9,9), (12,9,2,9), (12,9,9,2)
b) (4,4,12,12), (4,12,12,4), (4,12,4,12), (12,4,12,4), (12,4,4,12), (12,12,4,4)
(2,9,9,12), (2,9,12,9), (2,12,9,9), (9,2,9,12), (9,2,12,9), (9,9,2,12), (9,9,12,2), (9,12,2,9), (9,12,9,2), (12,2,9,9), (12,9,2,9), (12,9,9,2)
c) 0,00385
d) Demonstração no passo 4.
e) Demonstração no passo 5.