1.37 Aqui vemos algumas variações do Exemplo 1.3.4.

(a) No cálculo do diretor do Exemplo 1.3.4, assumiu-se que se A fosse perdoado, então com igual probabilidade o diretor diria a A que B ou C morreriam. No entanto, este não precisa ser o caso. O diretor pode atribuir probabilidades γ e1 − γ para esses eventos, conforme mostrado aqui:

Calcule P(A|W) em função de γ. Para quais valores de γ P(A|W) é menor, igual ou maior que 1/3?

(b) Suponha novamente que γ = 1/2, como no exemplo. Depois que o diretor diz a A que B vai morrer, A pensa um pouco e percebe que seu cálculo original era falso. No entanto, A então tem uma ideia brilhante. A pergunta ao diretor se ele pode trocar o destino com C. O diretor, pensando que nenhuma informação foi passada, concorda com isso. Prove que o raciocínio de A agora está correto e que sua probabilidade de sobrevivência saltou para 2/3!

Um problema semelhante, mas um pouco mais complicado, o “problema de Monte Hall” é discutido por Selvin (1975). O problema dessa forma ganhou bastante notoriedade quando apareceu em uma revista de domingo (vos Savant 1990) junto com uma resposta correta, mas com uma explicação questionável. O debate que se seguiu foi até mesmo relatado na primeira página do New York Times de domingo (Tierney 1991). Um tratamento completo e divertido é dado por Morgan et al. (1991) [ver também a resposta de vos Savant 1991]. Chun (1999) praticamente esgota o problema com uma análise muito completa.

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.

Usando os mesmos eventos A, B, C e W do Exemplo 1.3.4, temos:

P W = P ( W / A ) P ( A ) + P ( W / B ) P ( B ) + P ( W / C ) P ( C ) = γ 1 3 + 0 1 3 + 1 1 3 = γ + 1 3

Então:

P A / W = P ( A ∩ W ) P ( W ) = γ 3 ( γ + 1 ) 3 = γ γ + 1

Onde:

γ γ + 1 = 1 3   s e   γ = 1 2 γ γ + 1 < 1 3   s e   γ < 1 2 γ γ + 1 > 1 3   s e   γ > 1 2

Passo 2

Pelo Exercício 1.35, P(·|W) é uma função de probabilidade. A, B e C são uma partição. Então:

P(A|W) + P(B|W) + P(C|W) = 1

Mas, P(B|W) = 0.

Assim, P(A|W) + P(C|W) = 1.

Como P(A|W) = 1/3, P(C|W) = 2/ 3. Isso pode ser calculado diretamente, como no Exemplo 1.3.4.

Assim, se A pode trocar destinos com C, sua chance de sobrevivência se torna 2/3.

Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!

Resposta

a) γ γ + 1 = 1 3   s e   γ = 1 2 γ γ + 1 < 1 3   s e   γ < 1 2 γ γ + 1 > 1 3   s e   γ > 1 2

b) No passo 2.