1.43 Para a identidade de inclusão-exclusão de Miscelânea 1.8.1:
(a) Derive a Desigualdade de Boole e Bonferroni da identidade de inclusão-exclusão.
(b) Mostre que Pi satisfaz Pi ≥ Pj se i ≥ j e que a sequência de limites na Miscelânea 1.8.1 melhora à medida que o número de termos aumenta.
(c) Normalmente, à medida que o número de termos no limite aumenta, o limite se torna mais útil. No entanto, Schwager (1984) alerta que existem alguns casos em que não há muita melhora, principalmente se os Ais forem altamente correlacionados. Examine o que acontece com a sequência de limites no caso extremo quando Ai = A para todo i. (Veja Worsley 1982 e a correspondência de Worsley 1985 e Schwager 1985.)
Passo 1
Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.
Na letra (a), para a desigualdade de Boole, temos que:
Pois Pi ≥ Pj se i ≤ j e, portanto, os termos −P2k + P2k+1 ≤ 0 para k = 1, . . . , (n−1)/2 quando n é ímpar.
Quando n é mesmo o último termo a considerar é −Pn ≤ 0.
Para a Desigualdade de Bonferroni, bastar aplicar a identidade inclusão-exclusão ao , e usar o argumento que leva a (1.2.10).
Passo 2
Para a letra (b) ilustramos a prova de que os Pi são crescentes mostrando que P2 ≥ P3. Os outros argumentos são semelhantes.
Agora, para chegar a P3, descartamos os termos desta última expressão:
A sequência de limites está melhorando porque os limites P1, P1 − P2 + P3, P1 − P2 + P3 − P4 + P5, ..., estão ficando menores, pois Pi ≥ Pj se i ≤ j e, portanto, os termos −P2k + P2k+1 ≤ 0.
Os limites inferiores P1 − P2, P1 − P2 + P3 − P4, P1 − P2 + P3 − P4 + P5 − P6, ..., estão ficando maiores, pois Pi ≥ Pj se i ≤ j e, portanto, os termos P2k+1 − P2k ≥ 0.
Passo 3
Na letra (c), se todos os Ai forem iguais, todas as probabilidades na identidade de inclusão-exclusão são as mesmas. Desta forma:
P1 = nP(A), P2 = P(A), ... , Pj = P(A),
E a sequência de limites superiores em P(∪iAi) = P(A) torna-se:
P1 = nP(A), P1 − P2 + P3 = [n - + ] P(A), ...
Que eventualmente somam um, então o último limite é exato.
Para os limites inferiores obtemos:
P1 – P2 = [n - ] P(A), P1 – P2 + P3 – P4 = [n - + - ] P(A), ...
que começam negativos, depois se tornam positivos, com o último igual a P(A).
Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!
Resposta
Nos passos 1, 2 e 3.