1.43 Para a identidade de inclusão-exclusão de Miscelânea 1.8.1:

(a) Derive a Desigualdade de Boole e Bonferroni da identidade de inclusão-exclusão.

(b) Mostre que Pi satisfaz Pi ≥ Pj se i ≥ j e que a sequência de limites na Miscelânea 1.8.1 melhora à medida que o número de termos aumenta.

(c) Normalmente, à medida que o número de termos no limite aumenta, o limite se torna mais útil. No entanto, Schwager (1984) alerta que existem alguns casos em que não há muita melhora, principalmente se os Ais forem altamente correlacionados. Examine o que acontece com a sequência de limites no caso extremo quando Ai = A para todo i. (Veja Worsley 1982 e a correspondência de Worsley 1985 e Schwager 1985.)

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.

Na letra (a), para a desigualdade de Boole, temos que:

P ⋃ i = 1 n   ≤ ∑ i = 1 n P A i - P 2 + P 3 + … ± - P n ≤ ∑ i = 1 n P A i

Pois Pi ≥ Pj se i ≤ j e, portanto, os termos −P2k + P2k+1 ≤ 0 para k = 1, . . . , (n−1)/2 quando n é ímpar.

Quando n é mesmo o último termo a considerar é −Pn ≤ 0.

Para a Desigualdade de Bonferroni, bastar aplicar a identidade inclusão-exclusão ao A i c , e usar o argumento que leva a (1.2.10).

Passo 2

Para a letra (b) ilustramos a prova de que os Pi são crescentes mostrando que P2 ≥ P3. Os outros argumentos são semelhantes.

P 2 = ∑ 1   ≤   i   <   j   ≤   1 P A i ∩ A j = ∑ i = 1 n - 1 ∑ j = i + 1 n P A i ∩ A j

P 2 = ∑ i = 1 n - 1 ∑ j = i + 1 n ∑ k = 1 n P A i ∩ A j ∩ A k + P A i ∩ A j ( ∪ k ∩ A k ) c

Agora, para chegar a P3, descartamos os termos desta última expressão:

∑ i = 1 n - 1 ∑ j = i + 1 n ∑ k = 1 n P A i ∩ A j ∩ A k + P A i ∩ A j ∪ k ∩ A k c ≥ ∑ i = 1 n - 1 ∑ j = i + 1 n ∑ k = 1 n P A i ∩ A j ∩ A k ≥ ∑ i = 1 n - 2 ∑ j = i + 1 n - 1 ∑ k = j + 1 n P A i ∩ A j ∩ A k = ∑ 1   ≤   i   <   j <   k   ≤   n P A i ∩ A j ∩ A k = P 3

A sequência de limites está melhorando porque os limites P1, P1 − P2 + P3, P1 − P2 + P3 − P4 + P5, ..., estão ficando menores, pois Pi ≥ Pj se i ≤ j e, portanto, os termos −P2k + P2k+1 ≤ 0.

Os limites inferiores P1 − P2, P1 − P2 + P3 − P4, P1 − P2 + P3 − P4 + P5 − P6, ..., estão ficando maiores, pois Pi ≥ Pj se i ≤ j e, portanto, os termos P2k+1 − P2k ≥ 0.

Passo 3

Na letra (c), se todos os Ai forem iguais, todas as probabilidades na identidade de inclusão-exclusão são as mesmas. Desta forma:

P1 = nP(A), P2 = C 2 n P(A), ... , Pj = C j n P(A),

E a sequência de limites superiores em P(∪iAi) = P(A) torna-se:

P1 = nP(A), P1 − P2 + P3 = [n - C 2 n + C 3 n ] P(A), ...

Que eventualmente somam um, então o último limite é exato.

Para os limites inferiores obtemos:

P1 – P2 = [n - C 2 n ] P(A), P1 – P2 + P3 – P4 = [n - C 2 n + C 3 n - C 4 n ] P(A), ...

que começam negativos, depois se tornam positivos, com o último igual a P(A).

Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!

Resposta

Nos passos 1, 2 e 3.