1.45 Mostre que a função de probabilidade induzida definida em (1.4.1) define uma função de probabilidade legítima na medida em que satisfaz os Axiomas de Kolmogorov.

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.

X é finito. Portanto, B é o conjunto de todos os subconjuntos de X.

Devemos verificar cada uma das três propriedades na Definição 1.2.4:

(1) Se A ∈ B então PX(A) = P(∪xi ∈ A {sj ∈ S : X(sj) = xi}) ≥ 0 já que P é uma função de probabilidade.

(2) PX(X) = P( U i = 1 m = 1{sj ∈ S : X(sj) = xi}) = P(S) = 1.

(3) Se A1, A2, . . . ∈ B e disjuntos aos pares, então:

P x U k = 1 ∞ A k = P ⋃ k = 1 ∞ { U x ∈ A k { s j ∈ S   :   X s j = x i } }

P x U k = 1 ∞ A k = ∑ k = 1 ∞ P U x ∈ A k s j ∈ S   :   X s j = x i

P x U k = 1 ∞ A k = ∑ k = 1 ∞ P x ( A k )

Onde a segunda desigualdade segue do fato de que P é uma função de probabilidade.

Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!

Resposta

Demonstração no passo 1.