1.47 Prove que as seguintes funções são funções de distribuição acumulada.

a )   1 2 + 1 π t a n - 1 x ,   x ∈ ( - ∞ ; ∞ )

b )   1 + e - x - 1 ,   x ∈ ( - ∞ ; ∞ )

e )   e - e - x ,   x ∈ ( - ∞ ; ∞ )

d )   1 + e - x ,   x ∈ ( - ∞ ; ∞ )

e) a função definida em (1.5.6)

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.

Todas as funções são contínuas, portanto, contínuas à direita. Assim, precisamos apenas verificar o limite e que eles não são decrescentes.

Na letra a:

lim x → - ∞ ⁡ 1 2 + 1 π t a n - 1 x = 1 2 + 1 π * - π 2 = 0

E:

lim x → ∞ ⁡ 1 2 + 1 π t a n - 1 x = 1 2 + 1 π * π 2 = 1

E, também:

d d x 1 2 + 1 π t a n - 1 x = 1 1 + x ² > 0

Logo, F(x) é crescente.

Passo 2

Na letra b, basta ver o exemplo 1.5.5 do livro.

Passo 3

Na letra c:

lim x → - ∞ ⁡ e - e - x = 0

lim x → ∞ ⁡ e - e - x = 1

d d x e - e - x = e - x e - e - x > 0

Logo, F(x) é crescente.

Passo 4

Na letra d:

lim x → - ∞ ⁡ 1 + e - x = 0

lim x → ∞ ⁡ 1 + e - x = 1

d d x 1 + e - x = e - x > 0

Logo, F(x) é crescente.

Passo 5

Na letra e:

lim y → - ∞ ⁡ 1 - ε 1 + e - y = 0

lim y → ∞ ⁡ ε + 1 - ε 1 + e - y = 1

d dx ⁡ 1 - ε 1 + e - y = ( 1 - ε ) e - y 1 + e - y 2 > 0

d dx ⁡ ε + 1 - ε 1 + e - y > 0

É contínua exceto em y = 0, onde:

lim y ↓ 0 ⁡ ε + 1 - ε 1 + e - y = F ( 0 )

Assim FY(y) é contínua à direita.

E é isso aí galerinha boa. Exercício complicado esse, né? Bora fazer mais um? Te aguardo!

Resposta

No passos anteriores.