Enunciado

2-111. Em uma titulação ácido-base, uma base ou um ácido é gradualmente adicionado ao outro até que eles estejam completamente neutralizados entre si. Uma vez que ácidos e bases são geralmente incolores(como são a água e o sal produzidos na reação de neutralização), o pH é medido para monitorar a reação. Suponha que o ponto de equivalência seja alcançado depois de aproximadamente 100 mL, de uma solução de NaOH terem sido adicionados (o suficiente para reagir com todo o ácido acético presente), porém, nas repetições das medidas, os valores entre 95 e 104 ml, são igualmente prováveis, medidos em mL. Considere que dois técnicos conduzam a titulação de forma independente.

  1. Qual é a probabilidade de ambos os técnicos obterem equivalência em 100 mL?
  2. Qual é a probabilidade de ambos os técnicos obterem equivalência entre 98 e 104 mL(inclusive)?
  3. Qual é a probabilidade de o volume médio na equivalência ser de 100 mL, medido pelos dois técnicos?

Passo 1

Os técnicos T 1 e T 2 obtêm independentemente equivalência nas seguintes quantidades:

Q = ( 95,96,97,98,99,100,101,102,103,104 ) = ( q i ) i = 1 , . . . , 10

e com probabilidades iguais. Seja t 1 e t 2 as quantidades em que os técnicos T 1 e T 2 obtêm equivalência, respectivamente. Isso significa que:

ℙ ( t 1 = q i ) = 1 10 , i = 1 , . . . , 10

ℙ ( t 2 = q i ) = 1 10 , i = 1 , . . . , 10

Letra a:

ℙ ( { t 1 = 100 } ∩ { t 2 = 100 } ) = ℙ ( { t 1 = 100 } ) ℙ ( { t 2 = 100 } ) = 1 100

Observe que usamos a independência na primeira igualdade.

Passo 2

Na letra b:

ℙ ( { t 1   e   t 2   ∈   { 98 , . . . , 104 } } ) = ℙ ( t 1 ∈ { 98 , . . . , 104 } ) ℙ ( t 2 ∈ { 98 , . . . , 104 } ) = 49 100

Novamente usamos a independência na primeira igualdade.

Passo 3

Na letra c:

O número total de resultados para obter equivalência é 10 × 10 = 100 porque os dois técnicos podem obter equivalência de 10 maneiras possíveis. Nós precisamos encontrar o número de resultados relevantes, ou seja, precisamos de todos os pares ( t 1 , t 2 ) de tal modo que:

t 1 + t 2 2 = 100

Existem 9 pares no total:

( 100,100 ) , ( 101,99 ) , ( 99,101 ) , ( 102,98 ) , ( 98,102 ) , ( 103,97 ) , ( 97,103 ) , ( 104,96 ) , ( 96,104 ) .

Então, a resposta final é:

n ú m e r o   d e   r e s u l t a d o s   r e l e v a n t e s n ú m e r o   d e   p o s s í v e i s   r e s u l t a d o s = 9 100

Resposta

  1. ℙ ( { t 1 = 100 } ∩ { t 2 = 100 } ) = ℙ ( { t 1 = 100 } ) ℙ ( { t 2 = 100 } ) = 1 100
  2. ℙ ( { t 1   e   t 2   ∈   { 98 , . . . , 104 } } ) = ℙ ( t 1 ∈ { 98 , . . . , 104 } ) ℙ ( t 2 ∈ { 98 , . . . , 104 } ) = 49 100
  3. n ú m e r o   d e   r e s u l t a d o s   r e l e v a n t e s n ú m e r o   d e   p o s s í v e i s   r e s u l t a d o s = 9 100
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