Se X 1 , X 2   e   X 3 , são variáveis aleatórias independentes uniformemente distribuídas ao longo de (0, 1), calcule a probabilidade de que a maior das três seja a soma das outras duas.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O evento em que a maior dessas três variáveis ​​aleatórias é maior que a soma dos dois restantes é igual ao evento

X 1 > X 2 + X 3 ∪ X 2 > X 1 + X 3 ∪ { X 3 > X 1 + X 2 }

Devido ao fato de que esses três eventos na união acima são disjuntos, a probabilidade exigida é igual a

P X 1 > X 2 + X 3 + P X 2 > X 1 + X 3 + P { X 3 > X 1 + X 2 }

e devido à simetria do problema, a probabilidade requerida é igual a

3 P { X 1 > X 2 + X 3 }

Passo 2

Agora, nós temos que resolver a seguinte integral

P X 1 > X 2 + X 3 =   ∭ x , y , z ∈ 0,1 s χ x > y + z   d x d y d z

Abrindo os intervalos para cada variável, nós temos

P X 1 > X 2 + X 3 =   ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z ∫ y + z   1 d x d y d z

Simplificando um pouco mais as coisas

P X 1 > X 2 + X 3 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - z 1 - y - z   d y d z

Simplificando um pouco mais e finalmente resolvendo a integral, nós temos

P X 1 > X 2 + X 3 =   ∫ 0 1 1 - z 2 2 d z = 1 6

Como é a probabilidade multiplicado por 3, nós temos que o valor é igual a 1 2

Resposta

1 2