Se X 1 , X 2 , X 3   e   X 4 , são variáveis aleatórias não correlacionadas (por pares), cada uma com média 0 e variância 1, calcule as correlações de:

(a) X 1 + X 2   e   X 2 +   X 3

(b) X 1 + X 2   e   X 3 +   X 4

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Primeiramente, devemos compreender como determinar a correlação entre duas variáveis, que indica a interdependência entre elas e é dada pela fórmula:

p A , B = C o v ( A , B ) V a r A . V a r ( B )  

Além disso, precisamos ter conhecimento de algumas propriedades envolvendo Covariância e Variância, são elas:

1 - C o v X , Y = E X Y - E X . E ( Y )

2 - C o v X , X = V a r X  

3 - C o v X + Y , Z = C o v X , Z + C o v Y , Z

4 - C o v X , Y = 0 se X e Y forem independentes

5 - V a r X + Y = V a r X + V a r Y se X e Y forem independentes

Pelo enunciado ainda temos a informação que:

E X 1 = E X 2 = E X 3 = E X 4 = 0 e V a r X 1 = V a r X 2 = V a r X 3 = V a r X 4 = 1

Agora que temos todos dados relevantes para a resolução do problema, vamos decifrá-lo.

Passo 2

Vamos calcular a correlação para o item a) X 1 + X 2   e   X 2 +   X 3 ;

Por definição temos que:

p X 1 + X 2   ,   X 2 +   X 3 = C o v ( X 1 + X 2   ,   X 2 +   X 3 ) V a r X 1 + X 2 . V a r ( X 2   +   X 3 )

Aplicando as propriedades:

p X 1 + X 2   ,   X 2 +   X 3 = C o v X 1   , X 2 +   C o v X 1   , X 3 + C o v X 2   , X 2 +   C o v X 2   , X 3 ( V a r X 1 ) + V a r ( X 2 ) . ( V a r ( X 2 )   +   V a r ( X 3 ) )

Assim:

p X 1 + X 2   ,   X 2 +   X 3 = 0 +   0 + 1 + 0 ( 1 + 1 ) . ( 1 + 1 ) =   1 2 . 2 =   1 4 = 1 2   .

De modo análogo, para o item b) X 1 + X 2   e   X 3 +   X 4 a correlação será dada por:

p X 1 + X 2   ,   X 3 +   X 4 = C o v ( X 1 + X 2   ,   X 3 +   X 4 ) V a r X 1 + X 2 . V a r ( X 3   +   X 4 )

Aplicando as propriedades:

p X 1 + X 2   ,   X 3 +   X 4 = C o v X 1   , X 3 +   C o v X 1   , X 4 + C o v X 2   , X 3 +   C o v X 3   , X 4 ( V a r X 1 ) + V a r ( X 2 ) . ( V a r ( X 3 )   +   V a r ( X 4 ) )

Assim:

p X 1 + X 2   ,   X 3 +   X 4 = 0 +   0 + 0 + 0 ( 1 + 1 ) . ( 1 + 1 ) =   0 2.2 =   0 4 = 0 2 = 0 .  

Resposta

a) p X 1 + X 2   ,   X 2 +   X 3 = 1 2

b) p X 1 + X 2   ,   X 3 +   X 4 = 0