Enunciado

9-43.Pesquisadores medicos desenvolveram um novo coracao artifici-

al,construido principalmente de titanio e plastico.O coracao durara c

operara quase indefinidamente uma vez implantado no corpo do paci-

enle.poremo conjunto de baterias necessita ser recarregado a cada quatro

horas.aproximadamente,Uma amostra alcatoria de 50 conjuntos de

baterias e selecionada e submetida a um teste de vida.A vida media

dessas baterias4.05 horas.Consiclere quc a vida das baterias seja nor-

malmenle distribuida.com desvio-padrao de r=0.2 hora.

[a) Hfa evidencia para suportar a alegacao de que a vida media da bate-

ria excede 4 horas?Usea=0.05.

(b) Qual e o valor P para o testc do item(a)?

(c)Calcule a potencia do teste se a vida media verdadeira da bateria for

4.5 horas.

(d)Que tamanho da amostra seria requerido para detectar uma vida

media verladeira da bateria de 4.5 horas.se quisessemos que a po

tencia do teste fosse no minimo 0.9?

(e)Explique como a questao no item(a)poxleria ser respondlila.cons-

truindo um limite unilateral de confianca para a vida media.

Passo 1

E aí galera, vamo lá

Nos é dado:

n = 50 x - = 4.05 σ = 0.2

Letra a:

Determine as hipóteses:

H 0 : μ = 4 H a : μ > 4

A distribuição de amostragem da média da amostra tem média μ e desvio padrão σ n .

O valor z é a média da amostra diminuída pela média da população, dividida pelo desvio padrão:

z = x - - μ σ / n = 4.05 - 4 0.2 / 50 ≈ 1.77

O valor P é a probabilidade de obter um valor mais extremo ou igual à estatística de teste padronizada z. Determine a probabilidade usando a tabela III.

P = P ( Z > 1.77 ) = P ( Z < - 1.77 ) = 0.038364

Se o valor P for menor do que o nível de significância α , a hipótese nula é rejeitada.

P < 0.05 ⇒  Rejeita  H 0

Há evidências suficientes para apoiar a alegação de que a vida média da bateria excede 4 horas.

Passo 2

Letra b:

O valor P na parte (a) era

P = 0.038364

Passo 3

Letra c:

A potência é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine o valor z correspondente, com uma probabilidade de 1 - α = 1 - 0.05 = 0.95 :

z = 1.645

A média da amostra correspondente é a média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

x - = μ + z σ n = 4 + 1.645 0.2 50 ≈ 4.0465

O valor z é a média da amostra diminuída pela média da população (média alternativa), dividida pelo desvio padrão:

z = x - - μ σ / n = 4.0465 - 4.5 0.2 / 50 ≈ - 16.03

Determine a probabilidade de rejeitar a hipótese nula usando a tabela III.

P o t ê n c i a = P ( Z > - 16.03 ) = P ( Z < 16.03 ) ≈ 1

Passo 4

Letra d:

μ a = 4.5

O poder é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine o valor z correspondente a uma probabilidade de 1 - P o t ê n c i a = 1 - 0.90 = 0.10 :

z = - 1.28

Determine a pontuação z correspondente a uma probabilidade de 1 - α = 1 - 0.05 = 0.95 :

z = 1.64

A média da amostra correspondente é a média da população (da hipótese) aumentada pelo produto do escore z e o desvio padrão:

x - = μ + z σ n = 4 + 1.645 0.2 n

O valor z é a média da amostra diminuída pela média da população (média alternativa), dividido pelo desvio padrão:

z = x - - μ σ / n = 4 + 1.645 0.2 n - 4.5 0.2 / n = - 0.5 + 1.645 0.2 n 0.2 / n = - 2.5 n + 1.645

Este valor z deve ser igual ao valor z de - 1.28 que corresponde à potência:

- 2.5 n + 1.64 = - 1.28

Subtraia 1.64 de cada lado:

- 2.5 n = - 2.92

Divida cada lado por 2.5:

n ≈ 1.168

Quadrado cada lado e arredondado para o número inteiro mais próximo:

n ≈ 1.364 < 2

Tlms o tamanho mínimo da amostra para uma potência de 0.90 é 2.

Passo 5

Letra e:

Se você construir um limite de confiança unilateral na vida média e a média da hipótese nula for menor do que o limite, a hipótese nula não será rejeitada, caso contrário, a hipótese nula será rejeitada.

Resposta

  1. Há evidências suficientes para suportar a alegação de que a vida média da bateria excede 4 horas.
  2. P = 0.038364
  3. Aproximadamente 1
  4. 2
  5. Se você construir um limite de confiança unilateral na vida média e a média da hipótese nula for menor do que o limite, a hipótese nula não será rejeitada, caso contrário, a hipótese nula será rejeitada.
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