Alinha-se aleatoriamente um grupo de n homens e n mulheres.

a) Determine o número esperado de homens que têm uma mulher ao seu lado.

b) Repita a letra (a), mas agora supondo que o grupo esteja sentado aleatoriamente em uma mesa redonda.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Seja X i tal que:

X i = 1 ,         s e   h o m e m   e s t i v e r   a o   l a d o   d e   p e l o   m e n o s   u m a   m u l h e r   0 ,     c a s o   c o n t r á r i o                                                                                                                                                  

Para encontrar:

E ∑ i = 1 2 n X i = ∑ i = 1 2 n E X i = ∑ i = 1 2 n P X i = 1 … ( 1 )

Agora, X 1 = 1   ( e   X 2 n = 1 ) somente quando X 2

feminino (e X 2 n - 1   f e m i n i n o 1 )

P ( X 1 ) = n - n ,       n ã o   h á   m a n e i r a s   d e   s e l e c i o n a r   1   m a s c u l i n o   e   1   f e m i n i n o   2 n 2 n 1 ,     n ã o   h á   m a n e i r a s   d e   s e l e c i o n a r   2   p e s s o a s   d e   2 n                  

Passo 2

P ( X 2 n - 1 ) - P ( X 1 - 1 ) - n 2 2   n - 1 - ( 2 )

Agora, P X i - 1 p a r a   i ∈ [ 2 ,   2 n - 1 ] isso só acontecerá quando i - 1 t h ,   i t h , i + 1 t h   as pessoas forem:

P X i - 1 - 3 n 2 n - 1 2 n 2   n - 1 2   n - 2 - 3 n 4 2   n - 1 ⋯ ( 3 )

O número esperado de homens que têm uma mulher ao lado deles é de:

2 ⋅ 2 + 2   n - 2 ⋅ 3 = n 2 n - 1 + 3 n 2   n - 2 4 2 n - 1 = 3 n 2 - n 4 n - 2  

Passo 3

Aqui, o evento X i será como antes apenas que as probabilidades para X 1 - 1   e   X 2 n - 1 , serão alguns como em outras posições:

P X i - 1 - 3 n 4 2 n - 1

temos:

2 n 3 n 4 2 n - 1 = 3 n 2 4 n - 2

.

Resposta

Veja solução.