Questão: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em tono das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

1. y = 2 - 1 2 x , y = 0 , x = 1 , x = 2 ; em torno do eixo x .

Passo 1

Fala aí! Tudo belezinha com você?

Bem, essa questão pede pra encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y = 2 - 1 2 x , y = 0 , x = 1 , x = 2 em torno do eixo x . Além disso, precisaremos esboçar essa região graficamente, apresentar o sólido que será resultado dessa rotação e apresentar um disco ou arruela desse sólido.

Então teremos quatro missões aqui hoje. E são elas:

Esboçar a região limitada pelas curvas dadas;

Apresentar o sólido resultante da rotação da região em torno do eixo x ;

Calcular o volume desse sólido;

E apresentar um disco ou arruela típico desse sólido.

Passo 2

Para calcular o volume de regiões que estão rotacionando em torno do eixo x podemos usar a seguinte integral:

V = ∫ a b π ⋅ f x 2 d x

Mas quem são esses valores aí de a , b e f ( x ) ?

Cara, a ideia para resolver questões desse tipo é sempre visualizar graficamente qual a região que está sendo rotacionada, pois assim podemos definir quem são esses valores para calcular nossa integral.

Então, a estratégia que vamos usar está baseada em esboçar a região e perceber quem são os limites dessa região (valores de a e b ) e a curva f ( x ) . Assim poderemos calcular seu volume e atingir os demais objetivos.

Vem comigo que te mostro como fazer isso nos passos abaixo

Passo 3

Esboço das curvas dadas:

Vamos começar com a curva y = 2 - 1 2 x .

Essa aí é uma reta decrescente que corta o eixo y no ponto ( 0,2 ) , e seu gráfico é dado por:

Agora vamos construir a reta y = 0 , que é o próprio eixo x , a reta x = 1 , que é uma reta vertical que passa pelo ponto ( 1,0 ) e a reta x = 2 , que também é uma reta vertical que passa pelo ponto ( 2,0 ) . Veja como ficará nossa região:

Ao traçar as curvas conseguimos delimitar qual a região que está sendo rotacionada. Observe:

E assim, a primeira parte da questão está resolvida.

Passo 4

Agora vamos nos preocupar em entender como será o sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo x . Para isso, basta rebater as curvas que estão a cima do eixo x para o lado de baixo, e isso nos dará o seguinte sólido:

Passo 5

Vamos agora ao cálculo do volume desse sólido. Para isso usaremos a relação

V = ∫ a b π ⋅ f x 2 d x

Observando a região que formamos podemos ver que, em relação ao eixo x , ela começa em x = 1 e termina em x = 2 . Como a nossa integração para o cálculo do volume será feita em relação x , esses serão nossos limites de integração. Assim:

a = 1 e b = 2

A função f ( x ) que precisaremos é justamente y = 2 - 1 2 x como dado pelo enunciado. Assim, nossa integral se torna:

V = ∫ 1 2 π ⋅ 2 - 1 2 x 2 d x

E nosso trabalho agora se resume em resolver essa integração. Para isso, vamos primeiro resolver a potência e colocar as constantes para fora a integral.

V = π ∫ 1 2 2 - 1 2 x 2 d x

Repare que 2 - 1 2 x 2 é um produto notável do tipo a - b 2 , e resolvendo esse produto ele se torna:

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

Aplicando essa relação, ficamos com:

2 - 1 2 x 2 = 2 2 - 2 ⋅ 2 ⋅ 1 2 x + 1 2 x 2

O que nos dará:

2 - 1 2 x 2 = 4 - 2 x + x 2 4

Vamos encaixar tudo isso no cálculo do volume do sólido.

Passo 6

Agora nossa integral se tornou:

V = π ∫ 1 2 4 - 2 x + x 2 4 d x

Integraremos usando a regra de integração de funções polinomiais dada por:

∫ y n d y = y n + 1 n + 1

Assim:

V = π 4 x - x 2 + x 3 12 1 2

Aplicamos os limites de integração

V = π 4 ⋅ 2 - 2 2 + 2 3 12 - 4 ⋅ 1 - 1 2 + 1 3 12  

V = π 8 - 4 + 8 12 - 4 - 1 + 1 12  

Tirando dos parênteses e corrigindo os sinais:

V = π 8 - 4 + 8 12 - 4 + 1 - 1 12  

O que nos dá:

V = π 8 12 + 1 - 1 12

E resolvendo por mmc, ficamos com:

V = π 8 12 + 12 12 - 1 12

V = 19 π 12

E esse é o volume pedido.

Passo 7

Por fim, agora é hora de apresentar um disco ou arruela típico desse sólido. E para essa etapa basta desenharmos um disco formado pela rotação. Observe:

E prontinho. Todos os objetivos foram concluídos. Agora, partiu pra próximo!

Resposta

V = 19 π / 12