Aproximando probabilidades binomiais - Nos exercícios 23 a 28, determine se você pode usar uma distribuição normal para aproximar a distribuição binomial. Se for possível, use a distribuição normal para aproximar as probabilidades indicadas e esboce seus gráficos. Se não for possível, explique o porquê e use a distribuição binomial para encontrar as probabilidades indicadas.

23. Spam - Uma pesquisa com adultos americanos descobriu que 69% daqueles que enviam mensagens por telefone celular recebem spam ou mensagens indesejadas. Você seleciona aleatoriamente 100 adultos americanos que enviam mensagens por telefone celular. Calcule a probabilidade de que o número dos que recebem spam ou mensagens indesejadas seja (a) exatamente 70, (b) pelo menos 70, (c) menos de 70 e (d) identifique quaisquer eventos incomuns. Explique. (Fonte: Pew Research Center.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que

n = 100

p = 69   % = 0 , 69

Requisitos para uma aproximação normal para a distribuição binomial: n p ≥ 5 e n q ≥ 5 . Com isso, nós temos que

n p = 10 0 0 , 69 = 69 ≥ 5

n q = n 1 - p = 10 0 1 - 0 , 69 = 31 ≥ 5

Assim, os requisitos são satisfeitos

Passo 2

Agora, vamos converter essa distribuição binomial em uma distribuição normal, com isso, nós temos que o z-score é valor x menos a média, tudo isso, dividido por n p q = n p ( 1 - p )

z = x - n p n p 1 - p = 69,5 - 100 0,69 100 0,69 1 - 0,69 = 0,11  

E

z =   x - n p n p 1 - p = 70 , 5 - 100 0,69 100 0,69 1 - 0,69 = 0,32

Usando a tabela, nós vamos completar as probabilidades pedidas no enunciado

Passo 3

A – P X = 70

Para este caso, nós temos o seguinte

P X = 70 = P 69,5 < X < 70,5

Com isso,

P X = 70 = P Z < 0,32 - P Z < 0,11

Fazendo a substituição de valores, nós obtemos o seguinte resultado

P X = 70 = 0,6255 - 0,5438 = 0,0817 = 8,17   %

Passo 4

B – P ( X ≥ 70 )

Este caso é igual a

P X ≥ 70 = P X ≥ 69,5

Portanto, nós temos que

P X ≥ 70 = P Z ≥ 0,11 = 1 - P Z < 0,11

Fazendo a substituição

P X ≥ 70 = 1 - 0,5438 = 0,4562 = 45,62   %

Passo 5

C - P ( X < 70 )

Para este caso, a tabela nos diz o seguinte

P X < 70 = P X < 69,5

Para o valor z

P X < 70 = P Z < 0,11

Com isso, nós temos que

P Z < 0,11 = 0,5438 = 54,38   %

D – Valores incomuns tem uma probabilidade menor que 5%, o que não acontece nos casos anteriores.

Resposta

a )   0,0817

b )   0,4562

c )   0,5438

d )   S e m   e v e n t o s   i n c o m u n s