Assumindo um modelo de efeitos aleatórios, mostre que

E ( S Q B ) = ( b - 1 ) σ 2 + k ( b - 1 ) σ β 2

para o delineamento completo com blocos aleatorizados.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

No delineamento de blocos aleatórios, há k tratamentos e b blocos. O modelo matemático linear para o delineamento de blocos casualizados (assumimos que o modelo de efeito aleatório) é

Y i j = μ + A i + B j + ϵ i j ; i = 1,2 , … … , k ; j = 1,2 , … . , b - - - - →  (1) 

Onde A i , B j e ∈ i j sendo variável aleatória independente com média zero e variâncias σ a 2 , σ β 2 e σ 2 respectivamente. Aplicamos 1 k ∑ i = 1 k   toda a equação (1)

Y i j = μ + A i + B j + ϵ i j ; i = 1,2 , … . , k ; j = 1,2 , … . , b - - - - → ( 1 )   ⇒ 1 k ∑ i = 1 k     Y i j = 1 k ∑ i = 1 k     μ + 1 k ∑ i = 1 k     A i + 1 k ∑ i = 1 k     B j + 1 k ∑ i = 1 k     ϵ i j   ⇒ Y ‾ . j = μ + 1 k ∑ i = 1 k     A i + B i + ϵ ‾ j

Passo 2

Aplicamos 1 k b ∑ i = 1 k   ∑ j = 1 b   na equação (1)

  ⇒ 1 k b ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     Y i j = 1 k b ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     μ + 1 k b ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     A i + 1 k b ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     B j + 1 k b ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     ϵ i j   ⇒ y ‾ . . = μ + 1 k ∑ i = 1 k     A i + 1 b ∑ j = 1 b     B j + ϵ ‾ …   - - - - → ( 3 )

Passo 3

  Dado   ϵ i j = N 0 , σ 2   ⇒ E ϵ i j = 0   e   V a r ⁡ ϵ i j = σ 2   De   V a r ⁡ ϵ i j = σ 2 , E ϵ i j   2 - E ϵ i j 2 = σ 2   ⇒ E ϵ i j   2 = σ 2

Passo 4

Sabemos que ϵ ‾ j = N 0 , σ 2 k De V a r ⁡ ϵ ‾ , j = σ 2 k ,

  ⇒ E ϵ j 2 = σ 2 k     - - - → ( 5 )

Passo 5

Sabemos que ϵ ‾ = N 0 , σ 2 b k

⇒ E ( ϵ ‾ . ) = 0   e   V a r ⁡ ( ϵ ‾ ) = σ 2 b k

De V a r ⁡ ( ϵ ‾ ) = . σ 2 b k ,

E ϵ ‾ 2 - [ E ( ϵ ‾ . ) ] 2 = σ 2 b k   ⇒   E ϵ . . 2 = σ 2 b k     - ⋯ - - ( 6 )

Passo 6

Dado A i ◻ N 0 , σ a 2

⇒ E A i = 0  and  V a r ⁡ A i = σ α 2

De V a r ⁡ A i = σ α 2 ,

E A i 2 - E A i 2 = σ α 2   ⇒ E A i 2 = σ α 2 → ( 7 )

Dado B j = N 0 , σ β 2

⇒ E B j = 0   e   V a r ⁡ B j = σ β 2

De V a r ⁡ B j = σ β 2 ,

E B j 2 - E B j 2 = σ β 2   ⇒ E B j 2 = σ β 2   - ⋯ - → ( 8 )

Passo 7

E Y i j 2   = E μ + A i + B j + ϵ i j 2 - - - -   de (1)    = E μ 2 + A i 2 + B j   2 + ϵ i j   2   = E μ 2 + E A i 2 + E B j   2 + E ϵ i j   2   = μ 2 + σ α 2 + σ β 2 + σ 2 E Y ‾ . j 2   = E μ + 1 k ∑ i = 1 k   A i + B i + ϵ ‾ j 2   [   de (2)  ]   = E μ 2 + 1 k ∑ i = 1 k   A i 2 + B j   2 + ϵ j   2   [   de (5)  ]   = E μ 2 + E 1 k ∑ i = 1 k   A i 2 + E B j   2 + E ϵ j   2   = μ 2 + 1 k 2 E ∑ i = 1 k   A i 2 + σ β 2 + σ 2 k   = μ 2 + 1 k 2 ∑ i = 1 k   E A i 2 + σ β 2 + σ 2 k   = μ 2 + 1 k 2 ∑ i = 1 k   σ α 2 + σ β 2 + σ 2 k   = μ 2 + 1 k 2 k σ α 2 + σ β 2 + σ 2 k   = μ 2 + 1 k σ α 2 + σ β 2 + σ 2 k

Passo 8

E Y ‾ . 2   = E μ + 1 k ∑ i = 1 k   A i + 1 b ∑ j = 1 b   B j + ϵ ‾ … 2   [   de (3)  ]   = E μ 2 + 1 k ∑ i = 1 k   A i 2 + 1 b ∑ j = 1 b   B j 2 + ϵ . 2   = E μ 2 + E 1 k ∑ i = 1 k   A i 2 + E 1 b ∑ j = 1 b   B j 2 + E ϵ - 2   = μ 2 + 1 k 2 E ∑ i = 1 k   A i 2 + 1 b 2 E ∑ j = 1 b   B j 2 + σ 2 b k [     de (6)  ]   = μ 2 + 1 k 2 ∑ i = 1 k   E A i 2 + 1 b 2 ∑ i = 1 b   E B j 2 + σ 2 b k   = μ 2 + 1 k 2 ∑ i = 1 k   σ α 2 + 1 b 2 ∑ i = 1 b   σ β 2 + σ 2 b k   = μ 2 + 1 k 2 k σ α 2 + 1 b 2 b σ β 2 + σ 2 b k   = μ 2 + 1 k σ α 2 + 1 b σ β 2 + σ 2 b k

Passo 9

Expectativa de SSB é

E ( S S B ) = E ∑ i = 1 1     ∑ j = 1 b     y ‾ j - y ‾ j 2   = E k ∑ j = 1 b     y ‾ - j 2 + y → - 2 - 2 y ‾ . j y ‾ -   = E k ∑ j = 1 b     y ‾ j + k ∑ j = 1 b     y ‾ . 2 - 2 k y ‾ - ∑ j = 1 b     y ‾ j   = E k ∑ j = 1 b     y ‾ j 2 + k b y ‾ - 2 - 2 k y ‾ ω b y ‾ -   = E k ∑ j = 1 b     y ‾ j 2 - k b y ‾ …   = k ∑ j = 1 b     E y ‾ j 2 - k b E y ‾ . 2   = k b μ 2 + 1 k σ α 2 + σ β 2 + σ 2 k - k b μ 2 + 1 k σ α 2 + 1 b σ β 2 + σ 2 b k   = k b μ 2 + b σ α 2 + k b σ β 2 + b σ 2 - k b μ 2 - b σ α 2 - k σ β 2 - σ 2   = k b σ β 2 + b σ 2 - k σ β 2 - σ 2   = k ( b - 1 ) σ β 2 + σ 2 ( b - 1 )   ∴ E ( S S B ) = k ( b - 1 ) σ B 2 + σ 2 ( b - 1 )   = ∑ j = 1 b     k β j 2 + ∑ t = 1 k     ∑ j = 1 b     E ϵ ‾ j   2 - b k E ϵ ‾ 2   = ∑ j = 1 b     k β j 2 + ∑ k = 1 k     ∑ j = 1 b     σ 2 k - b k σ 2 b k   = ∑ j = 1 b     k β j 2 + b σ 2 - σ 2   = ∑ j = 1 b     k β j 2 + σ 2 ( b - 1 )

Portanto E [ S S B ] = ∑ j = 1 b   k β j 2 + ( b - 1 ) σ 2

⇒ E S S B b - 1 = 1 ( b - 1 ) ∑ j = 1 b   k β j 2 + σ 2

Se é H 0 verdadeiro e cada um é zero β j (ou seja, os efeitos de bloco são iguais a zero), então ∑ j = 1 b   k β j 2 = 0

⇒ E S S B b - 1 = σ 2

Portanto, s 2 2 = S S B b - 1 é estimativa não baizada de σ 2

Resposta

Resposta nos passos.