Questão: Considere a função
(a) Faça o estudo completo do comportamento desta função, ou seja estude o comportamento assintótico, crescimento e decrescimento, concavidade e etc.
Passo 1
Vamos fazer um estudo completo do comportamento da fun��ão .
Domínio:A função está definida para , pois o termo não está definido para valores nãopositivos.
Assíntotas:Não há assíntotas verticais porque a função está definida para todo . Vamos analisar a assíntota horizontal.
Assíntota Horizontal:Vamos verificar o comportamento da função quando tende ao infinito:
Portanto, não há assíntota horizontal.
Passo 2
Derivada:Vamos calcular a derivada da função :
Pontos Críticos:Os pontos críticos ocorrem onde . Isso ocorre quando ou .Resolvendo essas equações, encontramos que é um ponto crítico
Passo 3
Análise de Sinais e Intervalos de Crescimento/Decrescimento:Vamos analisar os intervalos determinados pelo ponto crítico e pelo domínio .Para :
- (pois é positivo e crescente em )
- Portanto, a função é crescente nesse intervalo.Para :
- (pois é negativo e decrescente em )
- Portanto, a função é decrescente nesse intervalo.
Passo 4
Segunda Derivada e Concavidade:Vamos calcular a segunda derivada da função :
A segunda derivada é positiva para e negativa para . Isso significa que a função é côncava para cima em e côncava para baixo em .
Pontos de Inflexão:Não há pontos de inflexão, pois a concavidade não muda em .
Passo 5
Limites:Vamos analisar os limites da função quando se aproxima de 0 e de :
Comportamento para :A função tende a à medida que se aproxima de 0 .
Comportamento para :A função cresce indefinidamente à medida que aumenta.
Resposta
Em resumo, a função é crescente para , decrescente para , côncava para cima em , tem um ponto de mínimo local em , não possui pontos de inflexão e cresce indefinidamente à medida que aumenta.