Um avião prestes a pousar carrega r famílias. Um total de n j dessas famílias despachou j malas, ∑ j n j = r . Suponha que, quando o avião aterrissa, as N = ∑ j j n j   malas saiam do avião em ordem aleatória. Assim que uma família recolhe toda sua bagagem, ela sai imediatamente do aeroporto. Se a família Sanchez despachou j malas, determine o número esperado de famílias que saem logo após essa família.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Defina a variável aleatória indicadora I k que marca se o k-ésimo das famílias restantes partiu depois da família Sanchez ou não. Assim, o número de famílias que partem após a família Sanchez pode ser descrita como

X =   ∑ k = 1 r - 1 I k

Agora, suponha que a k-ésima família tenha malas e estamos interessados ​​em qual é a

probabilidade de que eles saiam depois de Sanchez, ou seja, o que é P ( I k = 1 ) . Observe que

a k-ésima família sai mais tarde se e somente se todas as malas de Sanchez tiverem sido colocadas antes a última bagagem da família k . Assim, só podemos considerar i + j as malas e a probabilidade de que a última bagagem venha do conjunto que tem membros é igual a

P I k = 1 = i i + j

Passo 2

Agora, agrupamos variáveis ​​aleatórias I k de acordo com o número de bagagens que elas

possui. Nós temos

X =   ∑ i ∑ k i = 1 n i I k i

Portanto, nós temos que

E X = ∑ i ∑ k i = 1 n i E ( I k i )

Relembrando que E I k i = P I k i = 1 , nós obtemos o seguinte resultado

E X = ∑ i ∑ k i = 1 n i P ( I k i = 1 )

Substituindo, nós temos que

E X = ∑ i n i ∙ i i + j

Resposta

A   e s p e r a n ç a   é   i g u a l   a   ∑ i n i ∙ i i + j