Um baralho de 2n cartas é formado por n cartas vermelhas e n cartas vermelhas. As cartas são embaralhadas e em seguida viradas uma de cada vez. Suponha que, cada vez que uma carta vermelha seja virada, ganhemos 1 unidade caso mais cartas vermelhas do que pretas tenham sido viradas até aquele momento (por exemplo, se n=2 e o resultado fosse v p v p, ganharíamos um total de 2 unidades). Determine a quantia que esperamos ganhar.

Passo 1

Primeiro vamos imaginar que X é a quantidade de cartas que ganhamos.

Também é importante que seja observado que cada carta tem uma probabilidade de sair de n 2 n e de 1 2 de ser vermelha ou preta.

Se definirmos como variável indicadora o I j e definirmos.

I j =   { 1 ,   c a s o   E j   a c o n t e ç a   0 ,   c a s o   E j   n ã o   a c o n t e ç a  

E j vai ser o evento de virar uma carta vermelha e ganhar uma unidade.

Passo 2

Assim nós vamos ter que

X =   ∑ j = 1 n I j

Com isso calculamos a quantidade esperada que ganhamos fazendo E(X)

E X = E ∑ j = 1 n I j =   ∑ j = 1 n E ( I j ) = ∑ j = 1 n P ( E j )

Passo 3

Agora basta calcularmos a probabilidade de E j

Como ganhamos 1 unidade sempre que j entrega vermelho antes de preto. A probabilidade deste evento acontecer é de 1 2 . Logo E I j =   1 2 E X =   n 2

Resposta

E X =   n 2