Cada um de n garotos e n garotas, independentemente e aleatoriamente, escolhe um membro do sexo oposto. Se um garoto e uma garota se escolherem, eles formam um casal. Numere as garotas e suponha que seja o evento em que a garota número faça parte de um casal. Seja a probabilidade de que nenhum casal seja formado.
(a) Determine .
(b) Determine .
(c) Obtenha uma aproximação para se é grande.
(d) Obtenha uma aproximação para , a probabilidade de que exatamente k casais sejam formados, se n é grande.
Passo 1
Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos começar pela letra (a).
Para calcularmos a probabilidade, vamos usar:
Passo 2
Show, agora vamos para a letra (b).
Se nos for dado que menina está em um casal com algum menino, podemos excluí-los da história. Então, continuamos com meninos e meninas.
Aqui, podemos fazer o mesmo procedimento do Passo 1, e no final vamos encontrar:
Passo 3
Show, agora vamos para a letra (c). Quando é grande, aproximamos de
Como o número médio de eventos ativos é 1. Assim, podemos aproximar tem distribuição Poisson com parâmetro 1. Logo:
Passo 4
Show, agora vamos para a letra (d). Quando é grande, aproximado de , a probabilidade de que exatamente pares sejam formados.
Aqui, vamos usar a mesma ideia do Passo 3: