Cada um de n garotos e n garotas, independentemente e aleatoriamente, escolhe um membro do sexo oposto. Se um garoto e uma garota se escolherem, eles formam um casal. Numere as garotas e suponha que G i seja o evento em que a garota número i faça parte de um casal. Seja P 0 = 1 - P U i = 1 n G i   a probabilidade de que nenhum casal seja formado.

(a) Determine P G i .

(b) Determine P G i | G j .

(c) Obtenha uma aproximação para P 0 se n é grande.

(d) Obtenha uma aproximação para P k , a probabilidade de que exatamente k casais sejam formados, se n é grande.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos começar pela letra (a).

Para calcularmos a probabilidade, vamos usar:

P G i = ∑ k = 1 n P G i | i t h g a r o t a   e s c o l h e   k t h g a r o t o s   P i t h g a r o t a   e s c o l h e   k t h g a r o t o s  

P G i = ∑ k = 1 n 1 n × 1 n = 1 n 2 ∑ k = 1 n k

P G i = 1 n

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b).

Se nos for dado que j menina está em um casal com algum menino, podemos excluí-los da história. Então, continuamos com ( n - 1 ) meninos e ( n - 1 ) meninas.

Aqui, podemos fazer o mesmo procedimento do Passo 1, e no final vamos encontrar:

P G i | G j = 1 n - 1

Passo 3

Show, agora vamos para a letra (c). Quando n é grande, aproximamos de P 0 .

Como o número médio de eventos ativos é 1. Assim, podemos aproximar X tem distribuição Poisson com parâmetro 1. Logo:

P 0 = P ( X = 0 )

P 0 = e - λ λ 0 0 ! = e - 1

Passo 4

Show, agora vamos para a letra (d). Quando n é grande, aproximado de P k , a probabilidade de que exatamente k pares sejam formados.

Aqui, vamos usar a mesma ideia do Passo 3:

P k = P ( X = k )

P 0 = e - λ λ k k ! = e - 1 k !

Resposta

a )   P G i = 1 n

b )   P G i | G j = 1 n - 1

c )   P 0 = e - 1

d )   P 0 = e - 1 k !