Enunciado

Cada jogada de um dado viciado resulta em cada um dos números ímpares 1,3 e 5 com probabilidade C, e em cada um dos números pares com probabilidade 2C.

(a) Determine C.

(b) Suponha que o dado seja jogado. Suponha que X = 1 se o resultado for um número par e X = 0 caso contrário. Além disso, suponha que Y = 1 se o resultado for um número maior ou igual a 3 e Y = 0 caso contrário. Determine a função de probabilidade conjunta de X e Y. Suponha agora que 12 jogadas independentes sejam feitas com o dado.

(c) Determine a probabilidade de que cada um dos 6 resultados ocorra exatamente duas vezes.

(d) Determine a probabilidade de que quatro dos resultados sejam 1 ou 2, quatro sejam 3 ou 4, e quatro sejam 5 ou 6.

(e) Determine a probabilidade de que pelo menos 8 jogadas resultem em números pares.

Passo 1

E aí..... Tudo Beleza? Bora para o exercício =)

Em um primeiro momento devemos levar em conta, o total de probabilidade que deve ser igual a 1, considerando que a três possibilidades com probabilidade C e três com a probabilidade 2C, temos que:

3 . C + 2.3 . C = 1 → 9 C = 1 → C = 1 9

Passo 2

Para resolvermos a letra b, devemos levar em conta que a probabilidade conjunta será tomada pela fórmula abaixo:

p i , j = P { X = i , Y = j }

Considerando isso, agora devemos levar em conta as probabilidades de todas as possibilidades entre X e Y, sendo que valores ímpares possuem probabilidade C = 1 9 e valores pares 2 . C = 2 9 , sendo assim teremos:

p 1,1 = 2 . C + 2 . C = 4 9 , considerando que neste caso só há a possibilidade de termos 4 e 6 que condizem com o que precisamos.

p 1,0 = 2 . C = 2 9 , neste caso só poderemos ter o número dois como resposta.

p 0,1 = C + C = 2 9 , neste caso temos 3 e 5, como resultados possíveis;

p 0,0 = C = 1 9   , neste caso teremos somente o 1 como resultado possível.

Passo 3

Para começarmos a letra c, devemos considerar que deve cair exatamente os seis números repetidos, considerando isso devemos considerar que a ordem não importa, então devemos levar em conta o arranjo destas combinações e as respectivas probabilidades para o cálculo.

12 ! 2.2 . 2.2 . 2.2 . 1 9 6 . 2 9 6 = 0,001696 ≈ 0,0017

Passo 4

Para resolvermos a letra d, devemos levar em conta a combinação das doze tentativas em 3 grupos de 4, levando em conta este arranjo e as probabilidades como demonstradas abaixo.

12 ! 4 ! 3 . 1 9 + 2 9 12 = 12 ! 4 ! 3 . 1 3 12 = 0,06520

Passo 5

Para a letra e, temos que considerar que temos um número i ≥ 8 , sendo assim a probabilidade será obtida pelos somatórios dos arranjos de doze em i, considerando as probabilidades obtidas.

∑ i = 8 12 12 i . 2.3 9 i . 2 9 + 1 9 12 - i = ∑ i = 8 12 12 i . 2 3 i . 1 3 12 - i

E agora, bora para o próximo =)

Resposta

  1. C = 1 9 ;
  2. p i , j = P X = i , Y = j ; p 1,1 = 4 9 ; p 1,0 = 2 9 ; p 0,1 = 2 9 ; p 0,0 = 1 9 ;
  3. 0,0017 ;
  4. 0,065 ;
  5. ∑ i = 8 12 12 i . 2 3 i . 1 3 12 - i .