Cada moeda em uma cesta tem um valor. Cada vez que uma moeda com valor p é jogada, ela dá cara com probabilidade p. Quando uma moeda é retirada aleatoriamente da cesta, seu valor é uniformemente distribuído em (0, 1). Suponha que, após a moeda ter sido retirada, mas antes de ser jogada, você deva dar um palpite e dizer se sairá cara ou coroa. Você ganhará 1 se acertar e perderá 1 se errar.

A - Qual é o seu ganho esperado se você não souber o valor da moeda?

B - Suponha que agora você saiba o valor da moeda. Em função de p, o valor da moeda, que palpite você deveria dar?

C - Nas condições da letra (b), qual é o seu ganho esperado?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – Esse é bem direta, seu ganho esperado sem qualquer informação é 0.

B – Outra bem direta, você deveria dar o palpite "cara" se p > 1 2 , e "coroa" caso contrário.

Passo 2

C – O ganho esperado é dado por

E g a n h o = ∫ 0 1 E g a n h o V = p   d p  

Essa integral vai ter a seguinte configuração

E g a n h o = ∫ 0 1 2 1 1 - p - 1 p   d p + ∫ 1 2 1 1 p - 1 1 - p   d p

Logo,

E g a n h o =   ∫ 0 1 / 2 1 - p - p   d p + ∫ 1 / 2 1 p - 1 + p   d p  

Que é igual a

E g a n h o = ∫ 0 1 2 1 - 2 p   d p   +   ∫ 1 2 1 2 p - 1   d p

Com isso, nós temos

p - 2 p 2 2 0 1 2 + 2 p 2 2 - p 1 / 2 1 = 1 2

Portanto,

E g a n h o = 1 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)