Cada uma das pilhas em um conjunto de 40 pilhas tem a mesma probabilidade de ser do tipo A ou do tipo B. Uma pilha do tipo A dura um tempo total com média 50 e desvio padrão 15; pilhas do tipo B duram um tempo total com média 30 e desvio 6.

(a) Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que o tempo de vida total das 40 pilhas exceda 1700.

(b) Suponha que se saiba que 20 das pilhas são do tipo A e 20 são do tipo B. Agora, obtenha uma aproximação para a probabilidade de que o tempo de vida total das 40 pilhas exceda 1700.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Assumindo que são n = 40 baterias no conjunto. Digamos que X A representa o tempo de vida útil da bateria tipo A e X B representa o tempo de vida útil da bateria tipo B. Assim, temos que:

μ A = E X A = 50 ,     σ A = 15 ,       μ B = E X B = 3 0 ,     σ B = 6 .

Consideremos agora os dois eventos a seguir:

A = A bateria é do tipo A

B = A bateria é do tipo B

E sabendo que cada bateria do conjunto tem a mesma chance de ser do tipo A ou do tipo B, ou seja

p = P A = P B = 1 2

Vamos definir ainda que N A representa o número de baterias do tipo A e N B representa o número de baterias do tipo B entre as n baterias no conjunto. Temos então duas variáveis aleatórias com distribuição binomial que são independentes e com parâmetros n e p. Assim, N A = 40 - N B .

Portanto, com X representando o tempo de vida total das 40 baterias é dado por:

X =   ∑ i = 1 N A X A + ∑ i = 1 N B X B =   ∑ i = 1 N A X A + ∑ i = 1 40 - N A X B

Desejamos determinar o valor esperado e a variância da variável aleatória X. Assim teremos:

E X = E [ E X N A = E 20 N A + 1200 = 20 E N A + 1200 = 20.20 + 1200 = 1600

V a r X = E V a r X N A + V a r E X N A =   E 189 N A + 1440 + V a r 20 N A + 1200

V a r X = 189 E N A + 1440 + 400 V a r N A = 189.20 + 1440 + 400.10 = 9220

Passo 2

(a) Agora podemos determinar o valor da probabilidade do tempo de vida total das 40 baterias exceder 1700, ou seja,   P X > 1700 . Usando o teorema do limite central:

  P X > 1700 = 1 -   P X ≤ 1700 = 1 - P X - 1600 9220 ≤   1700 - 1600 9220

P X > 1700 = 1 - Φ 1700 - 1600 9220 = 1 -   Φ 1,04 = 1 - 0,8508 = 0,1492

Passo 3

(b) Agora vamos considerar que 20 das baterias são do tipo A e 20 são do tipo B. Tendo X representando o tempo de vida total das 40 baterias é dado por:

X =   ∑ i = 1 20 X A + ∑ i = 1 20 X B

Determinando o valor esperado e a variância da variável aleatória X, temos:

E X = 20 μ A + 20 μ B = 1600

V a r ( X ) = 20 σ A 2 + 20 σ B 2 = 5220

Usando o teorema do limite central, para determinar P X > 1700 , obtemos:

  P X > 1700 = 1 -   P X ≤ 1700 = 1 - P X - 1600 5 220 ≤   1700 - 1600 5 220

P X > 1700 = 1 - Φ 1700 - 1600 5 220 = 1 -   Φ 1 , 38 = 1 - 0 , 9162 = 0 , 0838

Resposta

(a) P X > 1700 = 0 , 1492

(b) P X > 1700 = 0,0838