Cada uma das pilhas em um conjunto de 40 pilhas tem a mesma probabilidade de ser do tipo A ou do tipo B. Uma pilha do tipo A dura um tempo total com média 50 e desvio padrão 15; pilhas do tipo B duram um tempo total com média 30 e desvio 6.
(a) Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que o tempo de vida total das 40 pilhas exceda 1700.
(b) Suponha que se saiba que 20 das pilhas são do tipo A e 20 são do tipo B. Agora, obtenha uma aproximação para a probabilidade de que o tempo de vida total das 40 pilhas exceda 1700.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.
Assumindo que são n = 40 baterias no conjunto. Digamos que representa o tempo de vida útil da bateria tipo A e representa o tempo de vida útil da bateria tipo B. Assim, temos que:
Consideremos agora os dois eventos a seguir:
A = A bateria é do tipo A
B = A bateria é do tipo B
E sabendo que cada bateria do conjunto tem a mesma chance de ser do tipo A ou do tipo B, ou seja
Vamos definir ainda que representa o número de baterias do tipo A e representa o número de baterias do tipo B entre as n baterias no conjunto. Temos então duas variáveis aleatórias com distribuição binomial que são independentes e com parâmetros n e p. Assim, .
Portanto, com X representando o tempo de vida total das 40 baterias é dado por:
Desejamos determinar o valor esperado e a variância da variável aleatória X. Assim teremos:
Passo 2
(a) Agora podemos determinar o valor da probabilidade do tempo de vida total das 40 baterias exceder 1700, ou seja, . Usando o teorema do limite central:
Passo 3
(b) Agora vamos considerar que 20 das baterias são do tipo A e 20 são do tipo B. Tendo X representando o tempo de vida total das 40 baterias é dado por:
Determinando o valor esperado e a variância da variável aleatória X, temos:
Usando o teorema do limite central, para determinar , obtemos:
Resposta
(a)
(b)