Calcule E [ X ] se X tem uma função densidade dada por:

a) f x = 1 4 x e - x / 2                                     x > 0 0                           c a s o   c o n t r á r i o

b) f x = c 1 - x 2                                           - 1 < x < 1 0                                                                   c a s o   c o n t r á r i o

c) f x = 5 x 2                             x > 5 0                                 x ≤ 5

Passo 1

E aeww galeraa!! Prontos pra mais uma resolução!?

Essa é tranquila, é mais trabalho braçal, a ideia, no geral, é bem simples.

Lá na teoria nós aprendemos que:

E X = ∫ - ∞ ∞ x f x d x

Com isso vamos resolver nosso problema, tendo em vista que ele já nos forneceu a função densidade de probabilidade.

a)

E X = 1 4 ∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x →   f a ç a m o s   y = x 2 ,     d y = d x 2

E X = 2 ∫ 0 ∞ y 2 e - y d y

Aqui vamos precisar nos recordar da função Gama ( Γ ) uma função muito conhecida e extremamente útil para calcular integrais desse tipo

Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ e - t ⋅ t x - 1 d t

Observe que a integral que desejamos calcular é 2 ⋅ Γ ( 3 )

Mas o Γ 3 = 2 de onde segue que:

E X = 2 ∫ 0 ∞ y 2 e - y d y = 4

Passo 2

b) Esse item é bem tranquilo pessoa, haja vista que existe uma simetria em x na função dada. Portanto:

E X = 0

Passo 3

c) Já esse item, vamos usar novamente a fórmula da f.d.p.

E X = ∫ 5 ∞ 5 x d x = ∞

Resposta

a) 4

b) 0

c)