Uma cliente de um cassino continuará a fazer apostas de R$5,00 no vermelho de uma roleta até que ela ganhe 4 dessas apostas.

(a) Qual é a probabilidade de que ela faça um total de 9 apostas?

(b) Qual será o seu número esperado de vitórias quando ela parar?

Observação: Em cada aposta, ela ganha R$5,00 com probabilidade 18 38 ou perde R$5,00 com probabilidade 20 38 .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos começar pela letra (a).

Em uma roleta há 38 opções, das quais 18 são vermelhas e 20 são pretas. As chances em uma rodada parar numa vermelha é de 18 38 = 9 19 .

Da mesma forma, a chance de parar numa preta é de 20 38 = 10 19 .

Para que ela ganhe na nona aposta, ela deve ter ganho 3 vezes nas 8 anteriores e na última. Com isso:

P = C 8 3 9 19 3 10 19 8 - 3 9 19

P = C 8 3 9 19 4 10 19 5

Passo 2

Show, agora vamos para a letra (b).

Com a probabilidade de 9 19 e uma expectativa de ter um número de jogadas como E ( X ) ,

Se ela ganhar 4 apostas, vai ser:

9 19 E X = 4

E X = 4 × 19 9

Já que ela ganharia as 4 apostas, podemos dizer que o número de derrotas vai ser X - 4 apostas, aonde X é o número de apostas que ela fez.

O dinheiro que ela vai fazer:

W = 20 - 5 ( X - 4 )

W = 40 - 5 X

Jogando na fórmula principal:

E W = 40 - 5 E ( X )

E W = 40 - 5 4 × 19 9

E W = - 2 0 9

Resposta

a )   P = C 8 3 9 19 4 10 19 5

b )   P E W = - 20 9