Uma clínica tem a mesma probabilidade de ter 2,3 ou 4 médicos voluntários trabalhando certo dia. Independentemente do número de médicos voluntários presentes, o número de pacientes atendidos por esses médicos é uma variável aleatória de Poisson com média 30. Suponha que X
represente o número de pacientes atendidos na clínica em um dado dia.
(a) Determine E[X].
(b) Determine Var(X).
(c) Use uma tabela de distribuições normais padrão para obter uma aproximação para P(X > 65).
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.
Consideremos os três eventos a seguir:
A = há 2 médicos voluntários no mesmo dia
B = há 3 médicos voluntários no mesmo dia
C = há 4 médicos voluntários no mesmo dia
Sabendo que existe a mesma probabilidade de haver 2, 3 ou 4 médicos voluntários no mesmo dia, logo:
Vamos definir ainda que N como o número de doutores na clínica em um dado dia. N é uma variável aleatória discreta, uma vez que só pode assumir os valores 2, 3 e 4. Assim,
O valor esperado de N será dado por:
Sendo,
Logo, a variância de N é dada por:
Passo 2
(a)
Vamos definir X para representar o número de pacientes atendidos na clínica em um dado dia. Vejamos que não importa o número de médicos voluntários naquele dia, o número de pacientes é uma variável aleatória independente descrita por uma distribuição de Poisson com média 30. Ou seja,
Logo o valor esperado e a variância de X é dado por:
Determinando E[X] obtemos,
(b)
A variância de N será dada por:
Passo 3
(c) Desejamos agora calcular a probabilidade para N = 2, 3 e 4. Assim, usando o teorema do limite central, temos:
Usando a correção de continuidade
De modo análogo, teremos:
Por fim, a probabilidade requerida será dada por:
Resposta
(a)
(b)
(c)