Uma clínica tem a mesma probabilidade de ter 2,3 ou 4 médicos voluntários trabalhando certo dia. Independentemente do número de médicos voluntários presentes, o número de pacientes atendidos por esses médicos é uma variável aleatória de Poisson com média 30. Suponha que X

represente o número de pacientes atendidos na clínica em um dado dia.

(a) Determine E[X].

(b) Determine Var(X).

(c) Use uma tabela de distribuições normais padrão para obter uma aproximação para P(X > 65).

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Consideremos os três eventos a seguir:

A = há 2 médicos voluntários no mesmo dia

B = há 3 médicos voluntários no mesmo dia

C = há 4 médicos voluntários no mesmo dia

Sabendo que existe a mesma probabilidade de haver 2, 3 ou 4 médicos voluntários no mesmo dia, logo:

p = P A = P B = P C = 1 3

Vamos definir ainda que N como o número de doutores na clínica em um dado dia. N é uma variável aleatória discreta, uma vez que só pode assumir os valores 2, 3 e 4. Assim,

P N = 2 = P N = 3 = P N = 4 = 1 3

O valor esperado de N será dado por:

E N = 2 . 1 3 + 3 . 1 3 + 4 . 1 3 = 3

Sendo,

E N ² = 2 2 . 1 3 + 3 2 . 1 3 + 4 2 . 1 3 = 29 3

Logo, a variância de N é dada por:

V a r N = E N 2 - E N 2 = 29 3 - 3 2 = 2 3

Passo 2

(a)

Vamos definir X para representar o número de pacientes atendidos na clínica em um dado dia. Vejamos que não importa o número de médicos voluntários naquele dia, o número de pacientes é uma variável aleatória independente descrita por uma distribuição de Poisson com média 30. Ou seja,

X | N = n   ,           n = 2 ,   3 ,   4

Logo o valor esperado e a variância de X é dado por:

E X N = n = V a r X N = n = 30 n

E X N = V a r X N = 30 N

Determinando E[X] obtemos,

E X = E E X N = E 30 N = 30 E N = 30.3 = 90

(b)

A variância de N será dada por:

V a r X = E V a r X N + V a r E X N = E 30 N + V a r 30 N = 30.3 + 30 2 . 2 3 = 6 90

Passo 3

(c) Desejamos agora calcular a probabilidade P X > 65 | N para N = 2, 3 e 4. Assim, usando o teorema do limite central, temos:

Usando a correção de continuidade P X > 65 | N = 2 = P X > 65 , 5 | N = 2

  P = X N = 2 - 60 60 > 65 , 5 - 60 60

P X > 65 | N = 2 = 1 - Φ 0,71 = 1 - 0 , 7611 = 0 , 2389

De modo análogo, teremos:

P X > 65 | N = 3 = 1 - Φ - 2 , 58 = Φ 2,58 = 0 , 9951

P X > 65 | N = 4 = 1 - Φ - 4,98 = Φ 4,9 8 ≈ 1

Por fim, a probabilidade requerida será dada por:

P X > 65 = ∑ n = 2 4 P X > 65 | N = n P N = n = 1 3 0,2389 + 0,9951 + 1 = 0,7447

Resposta

(a) E X = 90

(b) V a r X = 690

(c) P X > 65 = 0,7447