Comparando as distribuições binomial e de Poisson. Um fabricante de automóveis descobre que 1 em cada 2.500 automóveis produzidos tem um defeito de fabricação.

  1. Use uma distribuição binomial para calcular a probabilidade de achar 4 carros com o defeito em uma amostra aleatória de 6.000 carros.
  2. A distribuição de Poisson pode ser usada para aproximar a distribuição binomial para valores grandes de n e pequenos de p . Repita a parte (a) usando uma distribuição de Poisson e compare os resultados.

Passo 1

Oi galerinha, vamos resolver esse exercício juntos!

Sabemos que:

p = 1 25 00 = 0 , 000 4

No item (a) temos:

n = 6000 ;

x = 4 .

Em um experimento binomial, a probabilidade de exatamente x sucessos em n tentativas é:

P x = n ! n - x ! x ! p x q n - x

P 4 = 6 000 ! 6 000 - 4 ! 4 ! ∙ 0 , 000 4 4 ∙ 0 , 999 6 6 000 - 4

P ( 4 ) = 6000 ∙ 5999 ∙ 5998 ∙ 5997 ∙ 5996 ! ( 5996 ! ) ∙ 4 ! ∙ 0 , 0004 4 ∙ 0 , 9996 5996

P 4 = 0 , 12542

Passo 2

A distribuição de Poisson se dá pela equação:

P x = μ x ∙ e - μ x !

Onde:

e ≈ 2,71828 ;

μ número médio de ocorrências por intervalo unitário de referência.

Para resolvermos o item (b), precisamos dos dados do item anterior:

p = 0,0004 ;

n = 6000 ;

x = 4 .

Então nossa média ( μ ) será:

μ = 6000 ∙ 0,0004

μ = 2,4

Com esses dados conseguimos resolver a equação.

P 4 = 2,4 4 ∙ 2,71828 - 2,4 4 !

P 4 = 0,12541

Como 0,12542 ≈ 0,12541 , pode-se usar a distribuição de Poisson para aproximar a distribuição binomial para grandes valores de n e pequenos de p .

Resposta

  1. P 4 = 0,12542
  2. P 4 = 0,12541 . Os resultados são aproximadamente os mesmos.