Enunciado

Comparar os resultados de uma distribuição Binomial com n = 10 e p = 1 / 2 , com uma distribuição normal com mesma média ( μ = n ∙ p ) e mesma variância ( σ 2 = n ∙ p ∙ q ). Verificar que a aproximação é bem razoável para valores próximos da média.

Obs.: a) efetuar correção de continuidade;

b) trabalhar com 4 casas decimais;

c) lembrar que a distribuição normal é simétrica.

Passo 1

Olá galerinha, vamos resolver mais um exercício juntos? Então vamos lá!

Como a distribuição Binomial é caracterizada para uma variável discreta, enquanto que a Normal é para uma variável contínua, devemos efetuar a correção de continuidade. Tal correção consiste em considerar que a probabilidade de ocorrer um valor genérico x i na distribuição Binomial. Sendo assim, iremos calcular a probabilidade de ocorrer um valor entre ( x i - 0,5 ) e ( x i + 0,5 ) na distribuição Normal.

Neste exercício iremos utilizar a distribuição normal e binomial, e pelo enunciado sabemos que:

  • n = 10 ;
  • p = 1 / 2 ;
  • q = 1 - 1 / 2 = 1 / 2

Para a distribuição normal, precisamos fazer o cálculo da média ( μ ) e do desvio padrão ( σ ):

μ = n ∙ p = 10 ∙ 1 2 = 5

σ = n ∙ p ∙ q = 10 ∙ 1 2 ∙ 1 2 = 1,58

Passo 2

Iremos encontrar os valores da distribuição Normal, pela seguinte equação:

z i = X i - μ σ

Para P x = 0 = P ( - 0,5 ≤ X ≤ 0,5 ) :

z - 0,5 = - 0,5 - 5 1,58 = - 3,48

z 0,5 = 0,5 - 5 1,58 = - 2,85

Pela Tabela da distribuição Normal, temos:

P - 0,5 ≤ X ≤ 0,5 = 0,0022 - 0,0003 = 0,00019

Passo 3

Para o cálculo pela Binomial, utilizamos a equação:

P X = n ! x ! n - x ! ∙ p x ∙ q n - x

P 0 = 10 ! 0 ! 10 - 0 ! ∙ 0,5 0 ∙ 0,5 10 = 0,0010

Fazendo o mesmo para X i = 1   a   10 , obtemos os resultados:

Tchau galerinha! Te espero em mais exercícios.

Resposta

A aproximação é razoável, principalmente para valores próximos da média.

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