O conjunto de dados representa os pesos (em gramas) de 10 esquilos adultos machos selecionados aleatoriamente de uma floresta. Suponha que os pesos são normalmente distribuídos. (Adaptado de: Proceedings of the South Dakota Academy of Science.)

  1. Calcule a média e o desvio padrão amostral.
  2. Construa um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. Interprete os resultados.
  3. Construa um intervalo de confiança de 99% para a variância populacional.
  4. Construa um intervalo de confiança de 99% para o desvio padrão populacional. Interprete os resultados.

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo resolver esse exercício no estilo Responde Aí!

Do enunciado temos n = 10 . Para o cálculo da média e do desvio padrão amostral, do item (a), iremos utilizar as seguintes equações:

x - = ∑ x n = 8252 10

x - = 825,2

s = ∑ ( x - x - ) 2 n - 1 = 28997,6 10 - 1

s ≈ 56,8

Passo 2

(b) Como já calculamos a média amostral no item (a), precisamos calcular a margem de erro E, para obtermos um intervalo de confiança de 95% ( c = 0,95 ). E nosso desvio padrão populacional ( σ ) é desconhecido, com uma população normalmente distribuída. Então precisamos encontrar os graus de liberdade ( g . l . ) para obtermos o valor crítico ( t c ).

Temos que:

g . l . = n - 1 = 10 - 1

g . l . = 9

Pela Tabela da distribuição t:

t c = 2,262

Agora precisamos calcular a margem de erro E :

E = t c s n = 2,262 ∙ 56,8 10

E = 40,6

Um intervalo de confiança c para a média populacional μ é:

x - - E < μ < x - + E

Limite inferior:

μ = x - - E = 825,2 - 40,6

μ = 784,9

Limite superior:

μ = x - + E = 825,2 + 40,6

μ = 866,1

Intervalo de confiança de 95% para a média populacional:

784,9 < μ < 866,1

Com 95% de confiança, podemos dizer que o peso médio populacional está entre 784,9 gramas e 866,1 gramas.

Passo 3

Para o item (c) e (d) precisamos encontrar os valores críticos ( X R 2 e X L 2 ), e temos:

g . l . = 9 ;

c = 0,99 .

X R 2 → 1 - c 2 = 1 - 0,99 2 = 0,005

X L 2 → 1 + c 2 = 1 + 0,99 2 = 0,995

Então:

X R 2 = 23,589

X L 2 = 1,735

O intervalo de confiança c para a variância ( σ 2 ) e o desvio padrão ( σ ) populacional é:

( n - 1 ) s 2 X R 2 < σ 2 < ( n - 1 ) s 2 X L 2

( n - 1 ) s 2 X R 2 < σ < ( n - 1 ) s 2 X L 2

Passo 4

(c) a variância populacional σ 2 :

Limite inferior:

σ 2 = ( n - 1 ) s 2 X R 2 = ( 10 - 1 ) ∙ 56,8 2 23,589 = 1230,9

Limite superior:

σ 2 = ( n - 1 ) s 2 X L 2 = ( 10 - 1 ) ∙ 56,8 2 1,735 = 16735,5

1230,9 < σ 2 < 16735,5

(d) o desvio padrão populacional σ :

1230,9 < σ < 16735,5

35,1 < σ < 129,4

Resposta

  1. x - = 825,2 ; s ≈ 56,8 .
  2. 784,9 < μ < 866,1 . Com 95% de confiança, podemos dizer que o peso médio populacional está entre 784,9 gramas e 866,1 gramas.
  3. 1230,9 < σ 2 < 16735,5 .
  4. 35,1 < σ < 129,4 . Com 95 de confiança, podemos dizer que o desvio padrão populacional está entre 35,1 gramas e 129,4 gramas.