O conjunto de dados representa as pontuações de 12 estudantes selecionados aleatoriamente no teste de física do SAT. Suponha que as pontuações populacionais no teste são normalmente distribuídas e que o desvio padrão populacional é 103. (Adaptado de: The College Board.)

  1. Determine a estimativa pontual da média populacional.
  2. Construa um intervalo de confiança de 90% para a média populacional. Interprete os resultados.
  3. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estar 95% confiante de que a média amostral da pontuação do teste não diste mais de 10 pontos da média populacional da pontuação do teste.

Passo 1

Olá galera, tudo bem? Vem resolver esse problema comigo.

Do enunciado temos que:

n = 12 ;

σ = 103 .

  1. A média amostral ( x - ) é um estimador não tendencioso para a média populacional ( μ ). Logo:
  2. x - = ∑ x n

    x - = 670 + 740 + 630 + 620 + 730 + 650 + 720 + 620 + 640 + 500 + 670 + 760 12 = 7950 12

    x - = 662,5

    Passo 2

  3. Para construir um intervalo de confiança de 90% ( c = 0,90 ) para a média populacional, primeiramente precisamos determinar a margem de erro E , como o desvio padrão populacional ( σ ) é conhecido:
  4. E = z c σ n

    Então, precisamos do valor do escore - z :

    z c = 1,645

    Logo:

    E = z c σ n = 1 , 645 ∙ 103 12

    E = 48,9

    Limite inferior:

    μ = x - - E = 662,5 - 48,9

    μ = 613,6

    Limite superior:

    μ = x - + E = 662,5 + 48,9

    μ = 711,4

    Intervalo de confiança:

    613,6 < μ < 711,4

    Com 90% de confiança, podemos dizer que a pontuação média no teste de física do SAT da população está entre 613,6 e 711,4.

    Passo 3

  5. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estar 95% confiante de que a média amostral da pontuação do teste não diste mais de 10 pontos da média populacional da pontuação do teste. Então, temos que:

c = 0,95 ;

E = 10 .

Para c = 0,90 , temos que z c = 1,645 .

Para encontrarmos o tamanho mínimo da amostra ( n ):

n = z c ∙ σ E 2 = 1,645 ∙ 103 10 2

n = 287,1

Como n é decimal, iremos arredondar para o próximo no inteiro, ou seja, n = 288 .

E ai galera, gostaram da resolução? Te aguardo em mais exercícios!

Resposta

  1. μ = 662,5
  2. 613,6 < μ < 711,4 . Com 90% de confiança, podemos dizer que a pontuação média no teste de física do SAT da população está entre 613,6 e 711,4.
  3. n = 288   e s t u d a n t e s .