O conjunto de dados representa o tempo (em minutos) gasto assistindo a vídeos on-line a cada dia para uma amostra aleatória de 30 estudantes universitários. Suponha que o desvio padrão populacional é de 2,4 minutos. (Adaptado de: The Council for Research Excellence.)

(a) Calcule a estimativa pontual da média populacional.

(b) Calcule a margem de erro para um nível de confiança de 95%.

(c) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. Interprete os resultados.

Passo 1

Olá galera, tudo bem? Vem resolver esse problema comigo.

Uma estimativa pontual é um valor único estimado para um parâmetro populacional. A média amostral ( x _ ) é um estimador não tendencioso para a média populacional ( μ ). Onde:

x _ = ∑ x n

Então no item (a) iremos utilizar a média amostral para encontrarmos a estimativa pontual da média populacional.

Temos que:

n = 30

∑ x = 5,0 + 6,25 + 8,0 + 5,5 + 4,75 + 4,5 + 7,2 + 6,6 + 5,8 + 5,5 + 4,2 + 5,4 + 6,75 + 9,8 + 8,2 + 6,4 + 7,8 + 6,5 + 5,5 + 6,0 + 3,8 + 6,75 + 9,25 + 10,0 + 9,6 + 7,2 + 6,4 + 6,8 + 9,8 + 10,2

∑ x = 205,45

x _ = ∑ x n = 205,45 30

x _ = 6,848

Passo 2

A margem de erro E é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro que ela está estimando, dado um determinado nível de confiança c . Para uma média populacional ( μ ), em que o desvio padrão populacional ( σ ) é conhecido:

E = z c σ n

Isso é valido para as condições:

  1. A amostra é aleatória
  2. Pelo menos um dos seguintes é verdade:
    1. A população é normalmente distribuída
    2. n ≥ 30

Para o item (b) precisamos do valor do escore - z correspondente ao nível de confiança de 95%:

Como nosso nível de significância é de 95%, então z c = 1,96 .

E pelo enunciado temos que:

n = 30

σ = 2,4

Logo:

E = z c σ n = 1,96 ∙ 2,4 30

E = 0,859

Passo 3

(c) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. Interprete os resultados.

Um intervalo de confiança c para a média populacional μ é:

x _ - E < μ < x _ + E

Limite inferior:

μ = x _ - E = 6,848 - 0,859

μ = 5,989

Limite superior:

μ = x _ + E = 6,848 + 0,859

μ = 7,707

Intervalo de confiança de 95% para a média populacional:

5,989 < μ < 7,707

E ai galera, gostaram da resolução. Te aguardo em mais exercícios!

Resposta

(a) μ = 6,848

(b) E = 0,859

(c) 5,989 < μ < 7,707

Com 95% de confiança, podemos dizer que o tempo gasto assistindo a vídeos on-line a cada dia dos estudantes universitários está entre 5,989 e 7,707 minutos.