Enunciado

De um conjunto de n pessoas escolhidas aleatoriamente, suponha que E i j , represente o evento em que as pessoas i e j fazem aniversário no mesmo dia. Suponha que cada pessoa tenha a mesma probabilidade de fazer aniversário em qualquer um dos 365 dias do ano. Determine

(a) P( E 3,4 | E 1 , 2 )

(b) P( E 1 , 3 | E 1,2 )

(c) P( E 2 , 3 | E 1,2 ∩ E 1 , 3 ).

O que pode você concluir de suas respostas paras as letras (a)-(c) sobre a independência dos n 2 eventos E i j ?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos começar pela letra (a). Antes, vamos destacar a fórmula:

P E 3,4 E 1,2 = P E 3,4   ∩ E 1,2 P E 1,2

Show, agora precisamos calcular cada parte:

P E 3,4 = C 365 1 × 1 365 × 1 365 = 1 365

P E 1 , 2 = C 365 1 × 1 365 × 1 365 = 1 365

Jogando na fórmula:

P E 3,4 E 1,2 = 1 365 × 1 365 1 365 = 1 365

Passo 2

Agora vamos para a letra (b):

P E 1 , 3 E 1,2 = P E 1 , 3   ∩ E 1,2 P E 1,2

Show, agora precisamos calcular cada parte:

P E 1 , 3 = C 365 1 × 1 365 × 1 365 = 1 365

P E 1,2 = C 365 1 × 1 365 × 1 365 = 1 365

Jogando na fórmula:

P E 1 , 3 E 1,2 = 1 365 × 1 365 1 365 = 1 365

Passo 3

Agora vamos para a letra (c):

P ( E 2,3 | E 1,2 ∩ E 1,3 ) = P E 2 , 3 ∩ E 1 , 2   ∩ E 1 , 3 P E 1 , 2   ∩ E 1 , 3

Reparem que P E 2,3 ∩ E 1,2   ∩ E 1,3 e P E 1,2   ∩ E 1,3 tem a mesma probabilidade de aniversário, logo:

P ( E 2,3 | E 1,2 ∩ E 1,3 ) = 1

Resposta

a )   1 365

b )   1 365

c )   1