Considere uma amostra de tamanho 5 retirada de uma distribuição uniforme ao longo de (0, 1). Calcule a probabilidade de que a mediana esteja no intervalo 1 4 , 3 4 .

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Suponha que tomemos X 1 ,   … ,   X 5 da distribuição uniforme sobre (0,1). Deixei F ser C D F   d e   U   n i   f ( 0,1 ) . A mediana e estatística ordenada X 3 . Vamos encontrar a distribuição de X 3 . O evento X 3 ≤   t significa que três em cada cinco dessas variáveis aleatórias são menores ou iguais até dois deles são maiores.

Portanto:

P X 3 ≤   t = 5 3 F t 3 1 - F t 2 = 5 3   t 3 1 - t 2

Assim, a probabilidade necessária e igual a:

P X 3 ∈ 1 4 , 3 4 = P X 3 ≤ 3 4 - P X 3 ≤ 1 4

= 5 3 ⋅ 3 4 3 1 4 2 - 5 3 1 4 3 3 4 2 = 0 ,   1758

Resposta

A probabilidade encontrada é: 0 ,   1758