Considere um conjunto aleatório de n indivíduos. Ao obter uma aproximação para o evento em que 3 desses indivíduos não fazem aniversário no mesmo dia, uma aproximação de Poisson melhor do que aquela obtida no texto (pelo menos para valores de n entre 80 e 90) é obtida supondo-se que E i , seja o evento em que ocorrem pelo menos 3 aniversários no dia i, i = 1, ..., 365.

(a) Determine P( E i ).

(b) Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que 3 indivíduos não compartilhem a mesma data de aniversário.

(c) Avalie a aproximação anterior quando n = 88 (o que pode ser demonstrado ser o menor valor de n para o qual a probabilidade é maior que 0,5s).

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para começarmos a resolver, vamos destacar algumas coisas. Aqui, o número de indivíduos aleatórios é " n " .

Como a probabilidade de uma pessoa fazer aniversário em um determinado dia é de 1 365 , a chance daquele indivíduo vai ser de n 365 .

Sabendo que E i é o evento em que há pelo menos 3 aniversários no dia i , então:

P E i = P ( X ≥ 3 )

Lembrando que a probabilidade de existir pelo menos 3 aniversários no dia e menos de 3 aniversários por dia englobam todas as possibilidades, então:

P X ≥ 3 + P X ≤ 2 = 1

P X ≥ 3 = 1 - P X ≤ 2

Logo:

P E i = 1 - P ( X ≤ 2 )

Ok, vamos interpretar o que P ( X ≤ 2 ) representa:

P X ≤ 2 → P r o b a b i l i d a d e   d e   t e r   n o   m á x i m o   2   a n i v e r á r i o s   n e s s e   d i a

Com isso, existem 3 possibilidades:

P X = 0 → N i n g u é m   f a z   a n i v e r s á r i o

P X = 1 → U m a   p e s s o a   f a z   a n i v e r s á r i o

P X = 2 → D u a s   p e s s o a s   f a z e m   a n i v e r s á r i o

A soma deles engloba o evento P X ≤ 2 , então:

P X ≤ 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

Substituindo:

P E i = 1 - P ( X ≤ 2 )

P E i = 1 - P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

Logo:

P E i = 1 - e - n 365 + e - n 365 n 365 + e - n 365 n 365 2 2 !

Passo 2

Vamos para a letra (b).

Sabendo que a probabilidade de pelo menos 3 indivíduos fazerem aniversário no mesmo dia é de:

P E i = 1 - e - n 365 + e - n 365 n 365 + e - n 365 n 365 2 2 !

Podemos dizer que as chances de não haver 3 indivíduos no mesmo dia é de:

P Y = 0 = e - 365 p i

Passo 3

Agora vamos para a letra (c):

Vamos começar usando para a probabilidade de 3 pessoas fazerem aniversário. Com isso vamos usar aqui a fórmula encontrada no Passo 1, com n = 88 :

P E i = 1 - e - n 365 + e - n 365 n 365 + e - n 365 n 365 2 2 !

P E i = 1 - e - 88 365 + e - 88 365 88 365 + e - 88 365 88 365 2 2 !

P E i = 1 - 0,998049 = 0,001951

Agora para o caso de não haver 3 indivíduos no mesmo dia:

P Y = 0 = e - 365 p i

P Y = 0 = e - 365 ( 0,001951 ) = 0,4905

Resposta

a )   P E i = 1 - e - n 365 + e - n 365 n 365 + e - n 365 n 365 2 2 !

b )   P Y = 0 = e - 365 p i

c )   P E i = 0,001951

P Y = 0 = 0,4905