Considere um conjunto aleatório de n indivíduos. Ao obter uma aproximação para o evento em que 3 desses indivíduos não fazem aniversário no mesmo dia, uma aproximação de Poisson melhor do que aquela obtida no texto (pelo menos para valores de n entre 80 e 90) é obtida supondo-se que , seja o evento em que ocorrem pelo menos 3 aniversários no dia i, i = 1, ..., 365.
(a) Determine P().
(b) Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que 3 indivíduos não compartilhem a mesma data de aniversário.
(c) Avalie a aproximação anterior quando n = 88 (o que pode ser demonstrado ser o menor valor de n para o qual a probabilidade é maior que 0,5s).
Passo 1
Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Para começarmos a resolver, vamos destacar algumas coisas. Aqui, o número de indivíduos aleatórios é .
Como a probabilidade de uma pessoa fazer aniversário em um determinado dia é de , a chance daquele indivíduo vai ser de .
Sabendo que é o evento em que há pelo menos 3 aniversários no dia , então:
Lembrando que a probabilidade de existir pelo menos 3 aniversários no dia e menos de 3 aniversários por dia englobam todas as possibilidades, então:
Logo:
Ok, vamos interpretar o que representa:
Com isso, existem 3 possibilidades:
A soma deles engloba o evento , então:
Substituindo:
Logo:
Passo 2
Vamos para a letra (b).
Sabendo que a probabilidade de pelo menos 3 indivíduos fazerem aniversário no mesmo dia é de:
Podemos dizer que as chances de não haver 3 indivíduos no mesmo dia é de:
Passo 3
Agora vamos para a letra (c):
Vamos começar usando para a probabilidade de 3 pessoas fazerem aniversário. Com isso vamos usar aqui a fórmula encontrada no Passo 1, com :
Agora para o caso de não haver 3 indivíduos no mesmo dia: