Considere o Exemplo 4f, que trata da distribuição multinomial. Use a esperança condicional para calcular E [ N i ,   N j ] e depois use esse resultado para verificar a fórmula para C o v ( N i , N j ) dada no Exemplo 4f.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos determinar E ( N i N j | N i ) , usando as propriedades da esperança da condicional, nós temos que

E N i N j N i = N i E ( N j | N i )

Qual é a distribuição de N j dado N i . Sabemos que os ensaios de N i resultaram no resultado i e n - N i resultaram em alguns dos resultados restantes. Essas tentativas restantes resultam no resultado j independentemente umas das outras com probabilidade p j 1 - p i . Então, N j dado N i tem uma distribuição binomial com parâmetros n - N i e o parâmetro de sucesso p j 1 - p i . Portanto,

N i E N j N i = N i n - N i ∙ p j 1 - p i

Passo 2

Dado que encontramos o seguinte resultado, e usando a propriedade E N i N j = E E N i N j N i , nós temos que

E N i N j = p j 1 - p i ∙ n 2 p i - n p i 1 - p i - n 2 p i 2  

Com isso, nós temos que

E N i N j = p j 1 - p i ∙ n n - 1 p i ( 1 - p i )

E finalmente,

E N i N j = n n - 1 p i p j

Agora, nós temos que a covariância é igual a

C o v N i , N j = E N i N j - E N i E ( N j )

Substituindo o resultado, nós obtemos a seguinte configuração

C o v N i , N j = n n - 1 p i p j - n 2 p i p j = - n p i p j

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)