Considere um jogador que, em cada aposta, ganhe ou perca com respectivas probabilidades p e 1 - p. Um popular sistema de apostas é conhecido como estratégia de Kelley. Esta consiste no jogador sempre apostar a fração 2p - 1 de sua riqueza quando p > 1 2 . Calcule a riqueza esperada após n apostas de um jogador que começa com x unidades e emprega a estratégia de Kelley.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Vamos definir variáveis aleatórias ( X n ) n ≥ 0 que marcará a quantia de dinheiro que temos após uma aposta n. Vamos supor ainda que nós temos X n - 1 em dinheiro e vamos investir isso. Considerando a probabilidade p de ganharmos, iremos obter ( 2 p - 1 ) X n - 1 de dinheiro adicional e passaremos a ter X n - 1 + ( 2 p - 1 ) X n - 1 = 2 p . X n - 1   . Por outro lado, se perdermos a aposta teremos agora X n - 1 - 2 p - 1 X n - 1 =   2 1 - p X n - 1   em dinheiro.

Portanto, o valor esperado será definido pela soma entre (o produto da probabilidade de ganhar “p” pela quantia alcançada após o sucesso) e (o produto da probabilidade de perder “1-p” pela quantia após a perda), ou seja:

E X n X n - 1 = p ( 2 p X n - 1 ) + 1 - p 2 1 - p X n - 1 =   X n - 1 ( 2 p 2 + 2 1 - p 2 )

Para simplificar, vamos definir como α = 2 p 2 + 2 1 - p 2 = 4 p 2 - 4 p + 2

Então temos que: E X n =   α E X n - 1   ou ainda que:

E X n =   α n E X 0 = 4 p 2 - 4 p + 2 n . x  

Assim, conseguimos definir o valor esperado da riqueza de um jogador em termos de p, n e x.

Resposta

E X n = 4 p 2 - 4 p + 2 n . x