Considere um jogador que, em cada aposta, ganhe ou perca com respectivas probabilidades p e 1 - p. Um popular sistema de apostas é conhecido como estratégia de Kelley. Esta consiste no jogador sempre apostar a fração 2p - 1 de sua riqueza quando p > . Calcule a riqueza esperada após n apostas de um jogador que começa com x unidades e emprega a estratégia de Kelley.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.
Vamos definir variáveis aleatórias que marcará a quantia de dinheiro que temos após uma aposta n. Vamos supor ainda que nós temos em dinheiro e vamos investir isso. Considerando a probabilidade p de ganharmos, iremos obter de dinheiro adicional e passaremos a ter . Por outro lado, se perdermos a aposta teremos agora em dinheiro.
Portanto, o valor esperado será definido pela soma entre (o produto da probabilidade de ganhar “p” pela quantia alcançada após o sucesso) e (o produto da probabilidade de perder “1-p” pela quantia após a perda), ou seja:
Para simplificar, vamos definir como α =
Então temos que: ou ainda que:
Assim, conseguimos definir o valor esperado da riqueza de um jogador em termos de p, n e x.