Considere uma lista de m nomes na qual o mesmo nome pode aparecer mais de uma vez. Suponha que n(i), i = 1, ... , m, represente o número de vezes que o nome na posição i aparece na lista, e faça com que d represente o número distinto de nomes na lista.
- Expresse d em termos das variáveis m, n(i), i = 1, ... , m. Suponha que U seja uma variável aleatória uniforme no intervalo (0, 1) e que X = [um] + 1.
- Qual é a função de probabilidade de X ?
- Mostre que E[m|n(X)] = d.
Passo 1
Vamos começar pela letra a.
Primeiro vamos imaginar que o nome seja Gabriel e está na i enésima posição. Imagine também que o nome saiu duas vezes. Então como n(i) representa o número de vezes que o nome apareceu.
E d representa o número de nomes distintos na lista e esse nome (Gabriel) apareceu duas vezes, a soma das duas vezes em que o nome apareceu precisa dar 1. Logo
Então podemos definir d como
Passo 2
Vamos agora para a letra b.
A função densidade de probabilidade é dada por
A distribuição da função é dada por
O enunciado da que a variável aleatória X é definida por
Imaginem que x pertence ao espaço X. Assim, vamos ter que x = [u m] +1 onde m ≥ 1 e
0
Assim temos que x ≥ 1 e
Finalmente! Bora fazer a letra c.
Passo 3
Aqui não tem muito segredo, precisamos demonstrar o que nos pede no enunciado.
Já sabemos a definição da esperança, então+
Alguns desses valores já foram encontrados anteriormente, como a probabilidade de X, então vamos substituir e depois simplificar.