Considere uma lista de m nomes na qual o mesmo nome pode aparecer mais de uma vez. Suponha que n(i), i = 1, ... , m, represente o número de vezes que o nome na posição i aparece na lista, e faça com que d represente o número distinto de nomes na lista.

  1. Expresse d em termos das variáveis m, n(i), i = 1, ... , m. Suponha que U seja uma variável aleatória uniforme no intervalo (0, 1) e que X = [um] + 1.
  2. Qual é a função de probabilidade de X ?
  3. Mostre que E[m|n(X)] = d.

Passo 1

Vamos começar pela letra a.

Primeiro vamos imaginar que o nome seja Gabriel e está na i enésima posição. Imagine também que o nome saiu duas vezes. Então como n(i) representa o número de vezes que o nome apareceu.

n i = 2

E d representa o número de nomes distintos na lista e esse nome (Gabriel) apareceu duas vezes, a soma das duas vezes em que o nome apareceu precisa dar 1. Logo 1 =   1 2 + 1 2

Então podemos definir d como

d =   ∑ i = 1 m 1 n ( i )

Passo 2

Vamos agora para a letra b.

A função densidade de probabilidade é dada por

f U u =   1 ,   0 < u < 1 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o  

A distribuição da função é dada por

F U u =   0 ,   ≤ 0 u ,   0 < u < 1 1 ,   u ≥ 1

O enunciado da que a variável aleatória X é definida por

X = m U + 1

Imaginem que x pertence ao espaço X. Assim, vamos ter que x = [u m] +1 onde m ≥ 1 e

0

k = m á x i m o {   z   : z - 1   ≤ k   < z }

Assim temos que x ≥ 1 e

P X = x = P m U + 1 = x   = P   m U = x - 1

= P x - 1 ≤ m U < x = P x - 1 m ≤ U < x m

= F U x m -   F U x - 1 m = x m - x - 1 m = 1 m

Finalmente! Bora fazer a letra c.

Passo 3

Aqui não tem muito segredo, precisamos demonstrar o que nos pede no enunciado.

Já sabemos a definição da esperança, então+

E m n X =   ∑ x = 1 m m n x P X = x

Alguns desses valores já foram encontrados anteriormente, como a probabilidade de X, então vamos substituir e depois simplificar.

= ∑ x = 1 m m n x 1 m

=   ∑ x = 1 m 1 n ( x ) = d

Resposta

  1. d =   ∑ i = 1 m 1 n ( i )
  2. 1 m
  3. ∑ x = 1 m 1 n ( x ) = d