Considere uma população formada por indivíduos capazes de gerar crias do mesmo tipo. Suponha que, no final de sua vida, cada indivíduo tenha gerado j novas crias com probabilidade P j ,     j ≥ 0 , independentemente do número gerado por qualquer outro indivíduo. O número de indivíduos inicialmente presente, representado por X 0 é chamado de tamanho da zerézima geração. Todas as crias da zerésima geração constituem a primeira geração, e seu número é representado por X 1 . Em geral, suponha que X n represente o tamanho da n-ésima geração. Considere que μ = ∑ j = 0 ∞ j P j e σ 2 = ∑ j = 0 ∞ j - μ 2 P j representem, respectivamente, a média e a variância do número de crias gerado por um único indivíduo. Suponha que X 0 = 1 – isto é, que exista inicialmente um único indivíduo.

A – Mostre que

E X n = μ E X n - 1

B – Use a letra (a) para concluir que

E X n = μ n

C – Mostre que V a r X n = σ 2 μ n - 1 + μ 2 V a r X n - 1

D – Use a letra (c) para concluir que

V a r X n = σ 2 μ n - 1 μ n - 1 μ - 1 ,     s e   μ ≠ 1 n σ 2 ,     s e   μ = 1

O modelo descrito acima é conhecido como processo de ramificação, e uma importante questão para uma população que evolui sobre tais premissas é a probabilidade de que a população acabe se extinguindo. Suponha que π represente esta probabilidade quando a população começa com um único indivíduo. Isto é

π = P [ p o p u l a ç ã o   a c a b e   s e   e x t i n g u i n d o | X 0 = 1 ]

E – Mostre que π satisfaz

π = ∑ j = 0 ∞ P j π j

Dica: Condicione no número de crias do membro inicial da população.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Vamos encontrar E X n X n - 1 . É nos dado que existem X n - 1 indivíduos em n - 1

gerações. Cada um deles produz μ descendentes em média. Portanto

E X n X n - 1 = μ X n - 1

Então, aplicando a esperança, nós temos que

E X n = μ E X n - 1

Passo 2

B - Isso é fácil de provar usando a indução. Para n = 0 , temos que E X 0 = 1 , o que é verdade. Suponha que a afirmação seja verdadeira para n - 1 . Usando a relação de (a), nós temos que

E X n = μ E X n - 1 = μ ∙ μ n - 1 = μ n

Então provamos o que nos foi pedido

Passo 3

C – Nós vamos usar a lei da variância total agora. Nós temos que

V a r X n = E V a r X n X n - 1 + V a r E X n X n - 1

Observe que V a r X n X n - 1 = σ 2 X n - 1 desde que nós temos X n - 1 individuais, cada um deles produzindo a variância σ 2 . Portanto

E V a r X n X n - 1 = σ 2 μ n - 1

No outro lado, nós temos que E X n X n - 1 = μ X n - 1 , o que implica em V a r E X n X n - 1 = μ 2 V a r X n - 1 . Portanto,

V a r X n = σ 2 μ n - 1 + μ 2 V a r ( X n - 1 )

Então, provamos o que nos foi pedido

Passo 4

D - Suponha que μ = 1 . Neste caso, temos que

V a r X n = σ 2 + V a r X n - 1

De modo intuitivo, é fácil mostrar que V a r X n = n σ 2 . Agora, suponha que μ ≠ 1 . Vamos provar a fórmula

V a r X n = σ 2 μ n - 1 μ n - 1 μ - 1

Usando a indução, nós temos que para n = 1 , nós temos V a r X 1 = σ 2 , o que é verdade. Supondo que é verdade para n - 1 . Usando a relação da letra (c), nós temos que

V a r X n = σ 2 μ n - 1 + μ 2 V a r X n - 1 = σ 2 μ n - 1 + μ 2 σ 2 μ n - 2 μ n - 1 - 1 μ - 1

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

V a r X n = σ 2 μ n - 1 1 + μ μ n - 1 - 1 μ - 1 = σ 2 μ n - 1 μ n - 1 μ - 1

Portanto, nós conseguimos provar a fórmula para todos os casos.

Passo 5

E - Usando a lei da probabilidade total, temos que

P p o p u l a ç ã o   a c a b e   s e   e x t i n g u i n d o = ∑ j = 0 ∞ P ( p o p u l a ç ã o   a c a b e   s e   e x t i n g u i n d o | X 1 = j ) P ( X 1 = j )

Observe que, se soubermos que X 1 = j , podemos considerar nosso processo de ramificação como j processos de ramificação independentes que começam desde o início. A probabilidade

que cada um deles morre eventualmente é π . Portanto

P p o p u l a ç ã o   a c a b e   s e   e x t i n g u i n d o X 1 = k = π j

No outro lado, nós temos a seguinte informação: que P X 1 = j = P j . Portanto,

P p o p u l a ç ã o   a c a b e   s e   e x t i n g u i n d o = ∑ j = 0 ∞ π j P j

Então, finalmente, conseguimos provar todos os pontos da questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)