Considere uma população formada por indivíduos capazes de gerar crias do mesmo tipo. Suponha que, no final de sua vida, cada indivíduo tenha gerado j novas crias com probabilidade , independentemente do número gerado por qualquer outro indivíduo. O número de indivíduos inicialmente presente, representado por é chamado de tamanho da zerézima geração. Todas as crias da zerésima geração constituem a primeira geração, e seu número é representado por . Em geral, suponha que represente o tamanho da n-ésima geração. Considere que e representem, respectivamente, a média e a variância do número de crias gerado por um único indivíduo. Suponha que – isto é, que exista inicialmente um único indivíduo.
A – Mostre que
B – Use a letra (a) para concluir que
C – Mostre que
D – Use a letra (c) para concluir que
O modelo descrito acima é conhecido como processo de ramificação, e uma importante questão para uma população que evolui sobre tais premissas é a probabilidade de que a população acabe se extinguindo. Suponha que represente esta probabilidade quando a população começa com um único indivíduo. Isto é
E – Mostre que satisfaz
Dica: Condicione no número de crias do membro inicial da população.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A - Vamos encontrar . É nos dado que existem indivíduos em
gerações. Cada um deles produz descendentes em média. Portanto
Então, aplicando a esperança, nós temos que
Passo 2
B - Isso é fácil de provar usando a indução. Para , temos que , o que é verdade. Suponha que a afirmação seja verdadeira para . Usando a relação de (a), nós temos que
Então provamos o que nos foi pedido
Passo 3
C – Nós vamos usar a lei da variância total agora. Nós temos que
Observe que desde que nós temos individuais, cada um deles produzindo a variância . Portanto
No outro lado, nós temos que , o que implica em . Portanto,
Então, provamos o que nos foi pedido
Passo 4
D - Suponha que . Neste caso, temos que
De modo intuitivo, é fácil mostrar que . Agora, suponha que . Vamos provar a fórmula
Usando a indução, nós temos que para , nós temos , o que é verdade. Supondo que é verdade para . Usando a relação da letra (c), nós temos que
Com isso, nós obtemos o seguinte resultado
Portanto, nós conseguimos provar a fórmula para todos os casos.
Passo 5
E - Usando a lei da probabilidade total, temos que
Observe que, se soubermos que , podemos considerar nosso processo de ramificação como processos de ramificação independentes que começam desde o início. A probabilidade
que cada um deles morre eventualmente é . Portanto
No outro lado, nós temos a seguinte informação: que . Portanto,
Então, finalmente, conseguimos provar todos os pontos da questão!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)