Considere o seguinte jogo de dados: os jogadores 1 e 2 rolam um par de dados alternadamente. A banca então rola os dados para determinar o resultado de acordo com a seguinte regra: o jogador i, i = 1,2, vence se a sua jogada for estritamente maior do que a da banca. Para i = 1,2, considere

I i = 1   s e   i   v e n c e r 0   c a s o   c o n t r á r i o

e mostre que I, e I, são positivamente correlacionadas. Explique por que esse resultado já era esperado

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Primeiramente, vamos definir A 1 ,   A 2   e   B como sendo o jogador 1, jogador e a banca, respectivamente. Nosso objetivo é mostrar que C o v I 1 , I 2 = E I 1   I 2 - E I 1 . E I 2 > 0

Vale observar que:

E I 1   I 2 =   P I 1 = 1 ,   I 2 = 1 = P A 1 > B ,   A 2 > B

E por propriedade de probabilidade, temos que:

P A 1 > B ,   A 2 > B = P A 1 ≥   A 2 > B + P A 2 ≥ A 1 > B  

Para calcular as duas probabilidades que surgiram no segundo membro da igualdade, faremos uso da lei da probabilidade total, daí teremos que:

P A 1 ≥   A 2 > B =   ∑ i = 1 n P A 1 ≥   A 2 > B   B = b P ( B = b ) = ∑ i = 1 n P A 1 ≥   A 2 > B P ( B = b )  

Em outras palavras, a probabilidade ( P A 1 ≥   A 2 > B )   do jogador 1 obter pontuação estritamente maior que a banca é igual ao somatório do produto entre a probabilidade dele obter uma pontuação maior que a já obtida pela banca ( P A 1 ≥   A 2 > B   B = b ) e a probabilidade da banca obter aquele dado resultado ( P ( B = b ) ) .

De modo similar teremos que:

P A 2 ≥   A 1 > B =   ∑ i = 1 n P A 2 ≥   A 1 > B   B = b P ( B = b ) =   ∑ i = 1 n P A 2 ≥   A 1 > B P ( B = b )

Agora que temos a expressão para determinar a probabilidade total, vamos calculá-la.

Passo 2

Vamos calcular as duas parcelas da probabilidade, sabendo que n = 6 pois é o número de faces do dado, então teremos:

P A 1 ≥   A 2 > B =   ∑ b = 1 6 P A 1 ≥   A 2 > B P ( B = b )

Valendo lembrar que nesse caso a probabilidade de B é muito simples. Como a banca irá jogar dois dados, cada um com seis faces, o seu resultado será 1 36 . Já a probabilidade do jogador ganhar está diretamente condicionada ao resultado da banca. No final, a expressão ficará assim.

P A 1 ≥   A 2 > B =   1 6 ∑ b = 1 6 1 ( 6 - b ) ( 6 - b + 1 ) 2

Realizando a soma para cada valor de b = 1,2,3,4,5,6 obtemos:

P A 1 ≥   A 2 > B =   437 720

De modo análogo, para o jogador 2 teremos o mesmo processo, e por simetria:

P A 2 ≥   A 1 > B =   437 720

Assim, vamos obter que:

E I 1   I 2 = 437 720 + 437 720 =   437 36 0

Passo 3

Vamos definir agora o valor de E I 1 )   e   E ( I 2 . Sabemos que dentro do conjunto de possibilidades ao lançar dois dados o menor resultado possível é 2 e o maior é 12. Para que o jogador obtenha a vitória o esperado é que ele possua um resultado acima da média entre 2 e 12, que no caso seria 7 pontos. Logo, E I 1 ) =   E ( I 2 = P ( X > 7 ) .

Analisando a função de probabilidade da soma do lançamento de dois dados, temos a seguinte tabela:

Assim:

P X > 7 = P X = 8 + P X = 9 + P X = 10 + P X = 11 + P ( X = 12 )

P X > 7 =   5 36 + 4 36 + 3 36 + 2 36 + 1 36 = 1 5 36 = 5 12

Portanto,

E I 1 ) . E ( I 2 = 5 12 2 =   25 1 44

Assim, a expressão que desejávamos determinar fica assim:

C o v I 1 , I 2 = E I 1   I 2 - E I 1 . E I 2 =   437 360 -   25 144 =   749 72 0

Logo, C o v I 1 , I 2 > 0 como queríamos demonstrar.

Resposta

Este resultado era esperado, ema vez que, por exemplo, saber que o jogador 1 ganhou implica que o banco pode ter obtido um resultado muito baixo em seus dados, isso deixa espaço para o jogador 2 ganhar também. Logo, essas variáveis ​​estão positivamente correlacionadas.