Considere uma sequência de tentativas independentes, cada uma delas com probabilidade de sucesso p. Dado que o k-ésimo sucesso ocorre na tentativa n, mostre que todos os resultados possíveis das primeiras n - 1 tentativas que consistem em k - 1 sucessos e n - k fracassos são igualmente prováveis.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Suponha que ( X n ) n   seja essa sequência de tentativas independentes. Nós temos isso X n   ~   B i n o m ( p ) . A informação que temos é que X n = 1 e no vetor aleatório X 1 , X 2 , … , X n - 1   existem exatamente k - 1 uns e outros são iguais a zero. Então, pegando essa sequência de números x 1 , … , x n - 1 . Nós temos isso

P X 1 = x 1 , … , X n - 1 = x n - 1 =   ∏ i = 1 n - 1 P X i = x i

Com isso, nós temos que

P X 1 = x 1 , … , X n - 1 = x n - 1 = p k - 1 ∙ 1 - p n - k

Passo 2

Onde a primeira igualdade é por causa da independência e a segunda é porque sabemos que há exatamente k - 1 sucessos dentro n - 1 das provações. Desde o número obtido não depende da permutação da sequência, então, provamos o alegado. A probabilidade exigida é igual a p k - 1 ∙ 1 - p n - k , então não depende da permutação da sequência.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)