Considere n tentativas independentes, cada uma levando a um dos r resultados possíveis com probabilidades . Suponha que X represente o número de resultados que nunca ocorrem em qualquer uma das tentativas. Determine E[XI e mostre que, entre todos os vetores probabilidade é minimizada quando .
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Vamos definir as variáveis aleatórias indicadoras que sejam iguais a um se e somente se o j-ésimo resultado não ocorreu em nosso experimento e zero caso contrário. Portanto, temos que
Também nós temos a seguinte informação
pois se queremos que o j-ésimo resultado não ocorra (o que tem probabilidade de
em um único ensaio) e temos ensaios independentes. Portanto
Passo 2
Agora, nós vamos encontrar o vetor minimizante para o , uma vez que tem que haver , estamos usando a minimização condicional. Vamos definir o lagrangeano, com isso
Usando as derivadas parciais, nós temos a seguinte configuração
Que basicamente será igual a
Como esse sistema de equações é simétrico, nós temos que os termos são iguais a para . Portanto
Isso por causa da segunda condição, então, nós conseguimos provar o que nos foi pedido.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)