Considere n tentativas independentes, cada uma levando a um dos r resultados possíveis com probabilidades P 1 , P 2 ,   … ,   P r . Suponha que X represente o número de resultados que nunca ocorrem em qualquer uma das tentativas. Determine E[XI e mostre que, entre todos os vetores probabilidade P 1 ,   … ,   P n é minimizada quando P i = 1 r ,       i = 1,2 , … ,   r .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos definir as variáveis ​​aleatórias indicadoras I j que sejam iguais a um se e somente se o j-ésimo resultado não ocorreu em nosso experimento e zero caso contrário. Portanto, temos que

X =   ∑ j = 1 r I j

Também nós temos a seguinte informação

P I j = 1 = 1 = p j n

pois se queremos que o j-ésimo resultado não ocorra (o que tem probabilidade de

em um único ensaio) e temos   n ensaios independentes. Portanto

E X =   ∑ j = 1 r E I j =   ∑ j = 1 r 1 - p j n

Passo 2

Agora, nós vamos encontrar o vetor minimizante para o j - é s i m o , uma vez que tem que haver ∑ j = 1 r p j = 1 , estamos usando a minimização condicional. Vamos definir o lagrangeano, com isso

L λ ,   p 1 , … ,   p n =   ∑ j = 1 r 1 - p j n - λ ∑ j = 1 r p j - 1

Usando as derivadas parciais, nós temos a seguinte configuração

∂ ∂ p j L = - n 1 - p j n - 1 - λ = 0 ,     j = 1 , … , r

Que basicamente será igual a

∂ ∂ λ L = ∑ j = 1 r p j - 1 = 0

Como esse sistema de equações é simétrico, nós temos que os termos p i são iguais a p j para i , j = 1 , … ,   r . Portanto

p i = 1 r ,   i = 1,2 , … , r

Isso por causa da segunda condição, então, nós conseguimos provar o que nos foi pedido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)