Considere n tentativas independentes, das quais a i-ésima resulta em um sucesso com probabilidade p.
a) Calcule o número esperado de sucessos nas n tentativas e chame-o de .
b) Para um valor fixo de , que escolha de maximiza a variância do número de sucessos?
c) Que escolha minimiza a variância?
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Nos é dado que é uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro de sucesso e temos que representa o número total de sucessos.
A - Por causa da linearidade da esperança, temos que
Com isso, nós temos que
Passo 2
B - A variação do número total de sucessos é
O termo , com isso, nós temos que substituir
Somos obrigados a maximizar a variância dado que . Com isso, vamos definir o Lagrangiano
Usando derivadas parciais, nós obtemos o seguinte resultado
E
Da primeira equação, temos o que implica que a solução é simétrica, ou seja, . A segunda equação produz
Passo 3
C - Estamos considerando a função . Vamos diferenciar e definir igual a zero.
Que resulta que a escolha de que minimiza a variância é igual a