Considere n tentativas independentes, das quais a i-ésima resulta em um sucesso com probabilidade p.

a) Calcule o número esperado de sucessos nas n tentativas e chame-o de μ .

b) Para um valor fixo de μ , que escolha de P 1 ,   … ,   P n maximiza a variância do número de sucessos?

c) Que escolha minimiza a variância?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nos é dado que X i é uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro de sucesso p i e temos que X = ∑ i = 1 n X i representa o número total de sucessos.

A - Por causa da linearidade da esperança, temos que

μ = E X = ∑ i = 1 n P X i = 1

Com isso, nós temos que

μ = ∑ i = 1 n p i

Passo 2

B - A variação do número total de sucessos é

V a r X = ∑ i = 1 n V a r X i

O termo V a r X = p i ( 1 - p i ) , com isso, nós temos que substituir

V a r X =   ∑ i = 1 n p i 1 - p i =   ∑ i = 1 n p i - p 1 2

Somos obrigados a maximizar a variância dado que μ = ∑ i = 1 n p i . Com isso, vamos definir o Lagrangiano

L λ , p 1 , … , p n = ∑ i = 1 n p i - p i 2 - λ ∑ i = 1 n p i - μ

Usando derivadas parciais, nós obtemos o seguinte resultado

∂ L ∂ p i = 1 - 2 p i - λ = 0  

E

∂ L ∂ λ = ∑ i = 1 n p i - μ = 0

Da primeira equação, temos o p i = 1 - λ 2 que implica que a solução é simétrica, ou seja, p i = p j . A segunda equação produz

p i = μ n

Passo 3

C - Estamos considerando a função p 1 , … ,   p n → V a r ( X ) . Vamos diferenciar e definir igual a zero.

∂ ∂ p i V a r X = 1 - 2 p i = 0

Que resulta que a escolha de que minimiza a variância é igual a

p i = 1 2

Resposta

a )   μ = ∑ i = 1 n p i

b )   p i = μ n

c )   p i = 1 2