Questão: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em tono das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
1. , , , ; em torno do eixo .
Passo 1
Fala aí! Tudo belezinha com você?
Bem, essa questão pede pra encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas , , , em torno do eixo . Além disso, precisaremos esboçar essa região graficamente, apresentar o sólido que será resultado dessa rotação e apresentar um disco ou arruela desse sólido.
Então teremos quatro missões aqui hoje. E são elas:
Esboçar a região limitada pelas curvas dadas;
Apresentar o sólido resultante da rotação da região em torno do eixo ;
Calcular o volume desse sólido;
E apresentar um disco ou arruela típico desse sólido.
Passo 2
Para calcular o volume de regiões que estão rotacionando em torno do eixo podemos usar a seguinte integral:
Mas quem são esses valores aí de , e ?
Cara, a ideia para resolver questões desse tipo é sempre visualizar graficamente qual a região que está sendo rotacionada, pois assim podemos definir quem são esses valores para calcular nossa integral.
Então, a estratégia que vamos usar está baseada em esboçar a região e perceber quem são os limites dessa região (valores de e ) e a curva . Assim poderemos calcular seu volume e atingir os demais objetivos.
Vem comigo que te mostro como fazer isso nos passos abaixo
Passo 3
Esboço das curvas dadas:
Vamos começar com a curva .
Essa aí é uma reta decrescente que corta o eixo no ponto , e seu gráfico é dado por:

Agora vamos construir a reta , que é o próprio eixo , a reta , que é uma reta vertical que passa pelo ponto e a reta , que também é uma reta vertical que passa pelo ponto . Veja como ficará nossa região:

Ao traçar as curvas conseguimos delimitar qual a região que está sendo rotacionada. Observe:

E assim, a primeira parte da questão está resolvida.
Passo 4
Agora vamos nos preocupar em entender como será o sólido formado pela rotação dessa região em torno do eixo . Para isso, basta rebater as curvas que estão a cima do eixo para o lado de baixo, e isso nos dará o seguinte sólido:

Passo 5
Vamos agora ao cálculo do volume desse sólido. Para isso usaremos a relação
Observando a região que formamos podemos ver que, em relação ao eixo , ela começa em e termina em . Como a nossa integração para o cálculo do volume será feita em relação , esses serão nossos limites de integração. Assim:
e
A função que precisaremos é justamente como dado pelo enunciado. Assim, nossa integral se torna:
E nosso trabalho agora se resume em resolver essa integração. Para isso, vamos primeiro resolver a potência e colocar as constantes para fora a integral.
Repare que é um produto notável do tipo , e resolvendo esse produto ele se torna:
Aplicando essa relação, ficamos com:
O que nos dará:
Vamos encaixar tudo isso no cálculo do volume do sólido.
Passo 6
Agora nossa integral se tornou:
Integraremos usando a regra de integração de funções polinomiais dada por:
Assim:
Aplicamos os limites de integração
Tirando dos parênteses e corrigindo os sinais:
O que nos dá:
E resolvendo por mmc, ficamos com:
E esse é o volume pedido.
Passo 7
Por fim, agora é hora de apresentar um disco ou arruela típico desse sólido. E para essa etapa basta desenharmos um disco formado pela rotação. Observe:

E prontinho. Todos os objetivos foram concluídos. Agora, partiu pra próximo!