1.7 Consulte o jogo de dardos do Exemplo 1.2.7. Suponha que não assumimos que a probabilidade de acertar o alvo é 1, mas sim proporcional à área do alvo. Suponha que o alvo esteja montado em uma parede que seja atingida com probabilidade 1 e que a parede tenha área A.

(a) Usando o fato de que a probabilidade de acertar uma região é proporcional à área, construa uma função de probabilidade para P(marcando i pontos), i = 0,...,5 (nenhum ponto é marcado se o alvo não for atingido).

(b) Mostre que a distribuição de probabilidade condicional P( m a r c a n d o   i   p o n t o s |placa é ponto) é exatamente a distribuição de probabilidade do Exemplo 1.2.7.

Passo 1

Fala galerinha boa! Vamos realizar mais um exercício sobre probabilidade.

Letra (a): a função de probabilidade para P(marcando i pontos) vai ser dada por:

P ( m a r c a n d o   i   p o n t o s )   =   1   - π r 2 A ,   s e   i = 0 π r 2 A 6 - i 2 - 5 - i 2 5 2 ,   s e   i = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5  

Passo 2

Letra (b): a distribuição de probabilidade condicional é dada por:

P m a r c a n d o   i   p o n t o s p l a c a   é   p o n t o = P ( m a r c a n d o   i   p o n t o s ∩ p l a c a   é   p o n t o ) P p l a c a   é   p o n t o    

Onde:

P ( m a r c a n d o   i   p o n t o s ∩ p l a c a   é   p o n t o ) = π r 2 A 6 - i 2 - 5 - i 2 5 2

P ( p l a c a   é   p o n t o ) = π r 2 A    

Sendo assim:

P m a r c a n d o   i   p o n t o s p l a c a   é   p o n t o = 6 - i 2 - 5 - i 2 5 2   p a r a   i = 1,2 , 3,4 , 5

Que é exatamente a distribuição de probabilidade do Exemplo 1.2.7

Bora fazer mais um? Te aguardo no próximo, hein! Até mais, pessoal!

Resposta

a) P ( m a r c a n d o   i   p o n t o s )   =   1   - π r 2 A ,   s e   i = 0 π r 2 A 6 - i 2 - 5 - i 2 5 2 ,   s e   i = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5

b) P m a r c a n d o   i   p o n t o s p l a c a   é   p o n t o = 6 - i 2 - 5 - i 2 5 2   p a r a   i = 1,2 , 3,4 , 5