Cuidados médicos

Uma pesquisa com adultos americanos descobriu que 67% são contra a elevação da idade de elegibilidade para cuidados médicos gratuitos de 65 para 67 anos. Você seleciona aleatoriamente 80 adultos americanos e pergunta como se sentem sobre a elevação da idade de elegibilidade para cuidados médicos gratuitos. Calcule a probabilidade de que o número dos que se opõem à elevação da idade seja (a) pelo menos 65, (b) exatamente 50, (c) mais que 60 e (d) identifique quaisquer eventos incomuns. Explique. (Fonte: ABC News/Washington Post.).

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

A partir do enunciado do problema, temos que:

n = 80

p = 67 % = 0,67

q = 1 - p = 0,33

Vamos analisar se esses dados satisfazem todos critérios para usarmos a aproximação de uma distribuição normal para uma aproximação binomial, onde n p ≥ 5   e   n q ≥ 5 .

Assim, temos:

n p = 80.0,67 = 53,6 ≥ 5

n q = 80.0,33 = 26,4 ≥ 5

Como os critérios foram satisfeitos, podemos então, usar a distribuição normal.

Determinando a média e o desvio padrão, temos:

μ = n p = 53,6

σ =   n p q = 80.0,67.0,33 = 17,69 = 4,19

Passo 2

(a) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x ≥ 65 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( x > 64,5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 64,5 - 53,6 4,19 = 2,59  

Portanto,

P x ≥ 65 =   P x > 64,5 =   P z > 2,59 = 1 - P z < 2,59  

Da tabela de distribuição normal, temos que: P z < 2,59 = 0,9952 , assim:

P x ≥ 65 = 1 - 0,9952 = 0,0048 = 0,48 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

Passo 3

(b) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x = 50 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( 49,5 < x < 50,5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 49,5 - 53,6 4,19 = - 0,98  

z = x - μ σ = 50,5 - 53,6 4,19 = - 0,74

Portanto,

P x = 50 = P 49,5 < x < 50,5 =   P z < - 0,74 - P z < - 0,98  

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < - 0,74 = 0,2296 e P z < - 0,98 = 0,1635 assim:

P x = 50 = 0,2296 - 0,1635 = 0,0661 = 6,61 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

Passo 4

(c) Usando a correção de continuidade, a probabilidade discreta P ( x > 6 0 ) pode ser escrita como a probabilidade contínua P ( x > 6 0,5 ) . Calculando o valor escore-z, temos:

z = x - μ σ = 60 , 5 - 53,6 4,19 = 1,65  

Portanto,

P x > 6 0 = P x > 6 0,5 =   P z > 1 , 65 = 1 - P ( z < 1,65 )  

Da tabela de distribuição normal, temos: P z < 1,65 = 0,9505 assim:

P x > 6 0 = 1 - 0,9505   = 0,0 495 = 4 , 95 %

Através de software, encontramos o seguinte esboço e probabilidade:

(d) Os eventos (a) e (c) são considerados incomuns, uma vez que apresentam probabilidade menor que 5%.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

a) 0,48%. Consulte o esboço acima.

b) 6,61%. Consulte o esboço acima.

c) 4,95%. Consulte o esboço acima.

d) Os eventos (a) e (c) são incomuns, pois apresentam probabilidade menor que 5%.